Курсовая работа: Формирование умения решения квадратных уравнений в 8 классе

1) перенести общий множитель за скобки;

2) найти x₁ , x₂ .

Например, х² - 3х = 0. Перепишем уравнение х² – 3х = 0 в виде х ( х – 3 ) = 0. Это уравнение имеет, очевидно, корни x₁ = 0, x₂ = 3. Других корней оно не имеет, ибо если в него подставить вместо х любое число, отличное от нуля и 3, то в левой части уравнения х ( х – 3 ) = 0 получится число, не равное нулю.

Итак, данные примеры показывают, как решаются неполные квадратные уравнения:

1) если уравнение имеет вид ах² = 0, то оно имеет один корень х = 0;

2) если уравнение имеет вид ах² + bх = 0, то используется метод разложения на множители: х (ах +b) = 0; значит, либо х = 0, либо ах + b = 0. В итоге получается два корня: x₁ = 0; x₂ = - ;

3) если уравнение имеет вид ах² + с = 0, то его преобразуют к видуах² = - с и далее х² .= - В случае, когда - < 0, уравнение х² = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах² + с = 0). В случае, когда - > 0, т.е. - = m , где m>0, уравнение х² = m имеет два корня

= , = -, (в этом случае допускается более короткая запись = .

Таким образом, неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень, ни одного корня.

На втором этапе осуществляется переход к решению полного квадратного уравнения. Это уравнения вида ах² +bx+c = 0, где a,b,c – заданные числа, а ≠ 0, х – неизвестное.

Любое полное квадратное уравнение можно преобразовать к виду , для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни. Рассмотриваются следующие случаи решения полных квадратных уравнений: D < 0, D = 0, D > 0.

1. Если D < 0, то квадратное уравнение ах² +bx+c = 0 не имеет действительных корней.

Например, 2х² + 4х + 7 = 0. Решение: здесь а = 2, b = 4, с = 7.

D =b² – 4ас = 4² – 4*2*7 = 16 – 56 = - 40.

Так как D < 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

2. Если D = 0, то квадратное уравнение ах² +bx+c = 0 имеет один корень, который находится по формуле.

Например, 4х – 20х + 25 = 0. Решение: а = 4, b = - 20, с = 25.

D =b² – 4ас = (-20) ² – 4*4*25 = 400 – 400 = 0.

Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле . Значит,

3. Если D > 0, то квадратное уравнение ах² +bx+c = 0 имеет два корня, которые находятся по формулам:; (1)

Например, 3х² +8х – 11 = 0. Решение: а = 3,b = 8, с = -11.D =b² – 4ас = 8² – 4*3*(-11) = 64 + 132 = 196.

Так как D > 0, то данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находятся по формулам:

.

Составляется алгоритм решения уравнения вида ах² +bx+c = 0.

1. Вычислить дискриминант D по формулеD =b² – 4ас.

2. Если D < 0, то квадратное уравнение ах² +bx+c = 0 не имеет корней.

3. Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле

4. Если D > 0, то квадратное уравнение ах² +bx+c = 0 имеет два корня: ;.

Это алгоритм универсален, он применим как к неполным, так и к полным квадратным уравнениям. Однако неполные квадратные уравнения обычно по этому алгоритму не решают.