Курсовая работа: Градиентный метод первого порядка

Особый вклад системного анализа в решение различных проблем заключается в том, что он позволяет выявить факторы и взаимосвязи, которые в последствии могут оказаться весьма существенными, дает возможность видоизменить методику наблюдений и построить эксперимент так, чтобы эти факторы были включены в рассмотрение, и освещает слабые места гипотез и допущений. Как научный подход системный анализ с его акцентом на последовательное рассмотрение явлений в соответствии с разными уровнями иерархии и на проверку гипотез с помощью строгих выборочных процедур создает мощные инструменты познания физического мира и объединяет эти инструменты в систему гибкого, но строгого исследования сложных явлений.

Математическое моделирование осуществляется в три взаимосвязанные стадии:

1. Формализация изучаемого процесса - построение математической модели (составление математического описания);

2. Программирование решения задачи (алгоритмизация), обеспечивающего нахождение численных значений определяемых параметров;

3. Установление соответствия (адекватности) модели изучаемому процессу.

Построение математической модели:

В каждом конкретном случае математическую модель создают, исходя из целевой направленности процесса и задач исследования, с учетом требуемой точности решения и достоверности используемых исходных данных. При анализе полученных результатов возможно повторное обращение к модели с целью внесения коррективов после выполнения части расчетов.

Построение любой математической модели начинают с формализованного описания объекта моделирования. При этом аналитический аспект моделирования состоит в выражении смыслового описания объекта на языке математики в виде некоторой системы уравнений и функциональных соотношений между отдельными параметрами модели. Основным приемом построения математического описания изучаемого объекта является блочный принцип. Согласно этому принципу, после того как определен набор элементарных процессов, каждый из них исследуется по блокам в условиях, максимально приближенных к условиям эксплуатации объекта моделирования.

В результате каждому элементарному технологическому оператору ставиться в соответствие функциональный элементарный оператор с параметрами, достаточно близкими к истинным значениям.

Следующий этап моделирования состоит в агрегировании функциональных элементарных операторов в общий функциональный результирующий оператор, который и представляет математическую модель объекта. Важным фактором агрегирования является правильная взаимная координация отдельных операторов, которая не всегда возможна вследствие трудностей учета естественных причинно-следственных связей между отдельными элементарными процессами.

При выборе модели необходимо учитывать следующее:

- модель должна наиболее точно отражать характер потоков вещества и энергии при достаточно простом математическом описании;

- параметры модели могут быть определены экспериментальным или другим путем;

- в случае гетерогенных систем модели выбираются для каждой фазы в отдельности, причем для обеих фаз они могут быть одинаковыми или различными.

При построении математического описания используют уравнения таких видов:

- алгебраические уравнения;

- обыкновенные дифференциальные уравнения;

- дифференциальные уравнения в частных производных.

Алгоритмизация математических моделей:

После составления математического описания и выбора соответствующих начальных и граничных условий необходимо провести второй этап моделирования - довести задачу до логического конца, т. е. выбрать метод решения и составить программу (алгоритм).

В простейших случаях, когда возможно аналитическое решение системы уравнений математического описания, необходимость в специальной разработке моделирующего алгоритма, естественно, отпадает, так как вся информация может быть получена из соответствующих аналитических решений. Когда математическое описание представляет собой сложную систему конечных и дифференциальных уравнений, от возможности построения достаточно эффективного моделирующего алгоритма может существенно зависеть практическая применимость математической модели. В особенности это важно при использовании модели для решения задач, в которых она входит в качестве составной части более общего алгоритма, например, алгоритма оптимизации. Как правило, в таких случаях для реализации математической модели приходиться применять средства вычислительной техники; фактически без них нельзя ставить и решать сколько-нибудь сложные задачи математического моделирования и тем более задачи оптимизации, при решении которых расчеты по уравнениям математического описания обычно многократно повторяются.

Широко развитые в настоящее время методы численного анализа позволяют решать широкий круг задач математического моделирования.

Выбор численного метода:

При выборе метода для решения уравнений математического описания обычно ставиться задача обеспечения максимального быстродействия при минимуме занимаемой программой памяти. Естественно, при этом должна обеспечиваться заданная точность решения. Прежде чем выбрать тот или иной численный метод, необходимо проанализировать ограничения, связанные с его использованием, например, подвергнуть функцию или систему уравнений аналитическому исследованию, в результате которого выявиться возможность использования данного метода. При этом весьма часто исходная функция или система уравнений должна быть соответствующим образом преобразована с тем, чтобы можно было эффективно применить численный метод. Преобразованием или введением новых функциональных зависимостей часто удается значительно упростить задачу.

При выборе метода существенным моментом является размерность задачи. Некоторые методы эффективны при решении небольших задач, однако, с увеличением числа переменных объем вычислений настолько возрастает, что от них приходиться отказаться. Задачи такого класса обычно встречаются при решении систем уравнений, поиске оптимальных значений параметров многомерных функций. При соответствующем выборе метода можно уменьшить время, затрачиваемое на решение задачи и объем занимаемой машиной памяти.

Составление алгоритма решения:

Желательно составить четкое описание последовательности вычислительных и логических действий, обеспечивающих решение, т.е. составить алгоритм решения задачи. Основными требованиями к форме и содержанию записи алгоритма являются его наглядность, компактность и выразительность. В практике математического обеспечения вычислительных машин широкое распространение получил графический способ описания алгоритмов. Этот способ основан на представлении отдельных элементов алгоритма графическими символами, а всего алгоритма - в виде блок схемы. При этом набор графических символов не является произвольным, он регламентирован технической документацией по математическому обеспечению ЭВМ и соответствующими ГОСТами.

Методы оптимизации:

Оптимизация заключается в нахождении оптимума рассматриваемой функции или оптимальных условий проведения данного процесса. Для оценки оптимума необходимо прежде всего выбрать критерий оптимизации. В зависимости от конкретных условий в качестве критерия оптимизации можно взять технологический критерий, например максимальный съем продукции с единицы объема аппарата, экономический критерий - минимальную стоимость продукта при заданной производительности.