Курсовая работа: Інтеграли зі змінними границями

;

де х _i - вузли, с _i – ваги, R – залишковий член. Інтеграл приблизно заміняється сумою, схожою на інтегральну суму, причому вузли та коефіцієнти цієї суми не залежать від f ( x ) .

2. Квадратурні формули.

2.1. Формула прямокутників.

Припустимо, що f Î C ₂ [- h /2, h /2] , h>0 .

(2.1.1)

де f₀ =f(0) , тобто площа криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком функції f(x) , апроксимується площею прямокутника, висота якого дорівнює значенню f(x) в середній точці трапеції (мал. 2.1.1).

мал. 2.1.1. Формула прямокутників

Знайдемо залишковий член , тобто похибку формули (2.1.1) . Нехай

(2.1.2)

Тому що F (0)=0 ,F ^/ (0)= f ₀ ,F ^// (0)= f ^/ ₀ ,F ^/// ( x )= f ^// ₀ ,

то відповідно до формули Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа маємо

(2.1.3)

деx_- ,x₊ - деякі точки , -h/x_- <x₊ <h/2.

Функція F ( x ) є первісної для f ( x ) . Тому для інтеграла, що стоїть в лівій частині наближеної рівності (2.1.1), з формули Ньютона-Лейбница з розрахунком (2.1.3) випливає наступне співвідношення

Ззвідси одержуємо формулу прямокутників із залишковим членом:

(2.1.4)

2.2. Формула трапецій.

Нехай f Î C ₂ [ 0 , h ] ,h>0

(2.2.1)

де f ₀ = f (0) , f ₁ = f ( h ) тобто інтеграл приблизно заміняється площею заштрихованої трапеції, показаної на малюнку (мал. 2.2.1).

мал. 2.2.1. Формула трапецій.

Знайдемо залишковий член, тобто похибку формули (2.2.1). Виразимо f ₁ та F ₁ = F ( h ) де F - функція (2.1.2), по формулі Тейлора з залишковим членом в інтегральній формі (*) :

(*)

(2.2.2)

(2.2.3)

Згідно (2.2.1) маємо

(2.2.4)

Відокремивши в правій частині (2.2.3) доданок hf ₀ /2 і замінивши його вираженням (2.2.4), з урахуванням того, що

знаходимо

Перетворимо тепер другий доданок у правій частині, використовуючи узагальнену теорему про середнє. Тому що ( h - t ) t ³ 0 ,t Î [0, t ] то за теоремою

де x Î [ a , b ] - деяка точка . Підставляючи отримане в (*), приходимо до формули трапецій із залишковим членом :

(2.2.5)

2.3. Формула Сімпсона .

Припустимо, що f Î C ₄ [- h , h ] . Тоді інтеграл

наближеного заміняємо площею заштрихованої криволінійної трапеції, обмеженою зверху параболою, що проходить через точки (- h , f _-1 ) , (0, f ₀ ) , ( h , f ₁ ) , де f_i = f ( ih ) (мал. 2.3.1)

мал. 2.3.1 Формула парабол (Сімпсона)