Новые суточные доходы трамвайного парка: п₂ =7.

Перед нами стоит вопрос: «Существенно ли изменились условия проведения опыта, если очередная серия наблюдений привела к следующим данным, т.е. изменились ли математическое ожидание и дисперсия в новой серии наблюдений?»

Предполагается, что над случайной величиной X проведены независимых испытаний, а над Y - независимых испытаний.

Пусть случайные величины X и Y независимы и каждая подчиняется одному и тому же нормальному закону распределения.

Нормальный закон распределения определяется функцией распределения или плотностью вероятностей, которые зависят только от двух констант - m и . Пусть дисперсии X и Y одинаковы. Тогда если математические ожидания X и Y одинаковы, то условия проведения опыта полностью совпадают.

Найдем оценки и :

(млн.руб);(млн.руб).

Если действовать согласно интуиции, то можно прийти к такому выводу: если в результате наблюдений случайная величина примет значение, сильно отличающееся от нуля, то следует, что математические ожидания X и Y неодинаковы. Но как понять, что значит «сильно отличаться от нуля», а что – «не сильно»? Для этого нам необходимо найти границу.

Рассмотрим случайную величину:

Возьмем какое-либо число , которое назовем пороговым числом, т.е. границей между значениями t , достаточно сильно отличающимися от 0 и не сильно. Тогда:

1) если |t |>, то проверяемая гипотеза отвергается;

2) если |t |, то отвергать гипотезу не будем.

Но данные наблюдений всегда зависят от случая, поэтому мы можем отвергнуть справедливую гипотезу и допустить ошибку. Выберем устраивающую нас достаточно малую вероятность такой ошибки β.

..

Пусть β=0,05. Нужно использовать таблицу для погрешностей, но т.к. ее нет, найдем φ=1- β=0,95.

По таблицам Стьюдента =2,20.

Сравним t и : | 5,4 |>2,20 гипотеза отвергается, и M ( X ) M ( Y ) .

Таким образом, с вероятностью ошибки 0,05 можно считать, что условия проведения опыта существенно изменились.

Задание 3

Условие

В продолжение задания 1. Можно ли утверждать, что указанные в задании 1 данные говорят о существенном изменении условий проведения опыта, если известно, что для проведения этих наблюдений математическое ожидание рассматривающейся случайной величины составляло 12,42?

Решение

У нас имеется случайная величина X , закон распределения которой близок к нормальному закону. Нам нужно ответить на вопрос: «Справедливо ли, что математическое ожидание X равно заданной константе m , где m = 12,42?» Если нет, то условия проведения нашего опыта существенно изменились. Предполагается, что над случайной величиной проведены n независимых испытаний.

Введем оценку математического ожидания для X :

Интуитивно мы можем сделать вывод по такому правилу: если после наблюдений случайная величина примет значение, сильно отличающееся от нуля, то условия проведения опыта существенно изменились. Но, опять же, нужно найти данную границу. Рассмотрим случайную величину:

.

Если |t |, то условия проведения опыта существенно не изменились, если |t |>, то условия изменились. Но, как и в задаче 2, это может привести к ошибке. Выберем малую вероятность такой ошибки: β=0,05.

.

С помощью таблицы Стьюдента найдем : =2,57.

Сравним t и : | 2,9 |>2,57М(Х) m .