Курсовая работа: Использование модели экономического цикла Самуэльсона-Хикса

- a ₁ - a _{2 ,} (9)

Обозначим его корни ₁ , ₂ и запишем

В теории конечно-разностных уравнений[4] доказывается, что при _{1 2} решение уравнения (8) описывается равенством

, (10)

где A ₁ и A ₂ - постоянные, определяемые начальными условиями.

Если же ₁ = ₂ = , то решение имеет вид

, (11)

Решение уравнения (8) зависит от значения дискриминанта характеристического уравнения (9).

Рассмотрим возникающие при этом случаи.1. D > 0. Характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня. Решение описывается равенством (10); если оба корня положительны, то обе компоненты решения - монотонные геометрические прогрессии. Если имеются отрицательные корни, то каждому из них отвечает знакочередующаяся составляющая решения (10).2. D = 0. Характеристическое уравнение имеет совпадающие вещественные корни, и решение имеет вид (11).

3. D < 0. Характеристическое уравнение имеет пару сопряженных комплексных корней: _1,2 = i .

Равенство (10) при этом справедливо, но неудобно для использования, так как вещественный процесс при этом описывается как сумма комплексных составляющих. Более удобную форму решения можно получить, используя тригонометрическое представление корней: _1,2 = g (cos sin), где Такое представление позволяет описать решение уравнения (8) равенством

, (12)

где B ₁ и B ₂ - постоянные, определяемые начальными условиями.

Таким образом, при D < 0 решение носит характер колебаний, амплитуда которых возрастает (при g > 1) или убывает (при g < 1);

Решение уравнения (8) называют равновесным, если значение x_t не изменяется во времени. Подстановкой в уравнение (8) можно убедиться, что x_t = 0 есть равновесное решение. Равновесное решение называется устойчивым, если x_t 0 при t ; в противном случае оно называется неустойчивым. Равенства (10) и (11) показывают, что решение будет устойчивым в том и только в том случае, если оба корня характеристического уравнения по модулю меньше единицы. В случае D < 0 условию устойчивости соответствует g < 1, так как при этом необходимым и достаточным условием устойчивости является a ₂ > -1. По теореме Виета _{1 2} = -a ₂ , так что условие a ₂ > -1 необходимо и в случае D > 0, но здесь оно не является достаточным. Система неравенств

дает необходимое и достаточное условие устойчивости для данного случая. Для этого требуется, чтобы выполнялось неравенство

Систему можно заменить одним неравенством

Объединяя все полученные результаты, условие устойчивости можно представить в виде двойного неравенства

,(13)

Уравнение модели экономических циклов Самуэльсона-Хикса имеет вид уравнения (8), при этом

Заметим, что C_y 0 и 0 в силу экономического содержания этих параметров. Согласно теореме Виета,

,(14)

Условие D = 0, разделяющее колебательные и неколебательные решения, теперь имеет вид

При характеристическое уравнение имеет вещественные корни. Из неотрицательности параметров C_y и и равенств (14) следует, что оба корня неотрицательны и обе компоненты решения (10) изменяются монотонно. При решение носит колебательный характер.

Условие устойчивости (13) теперь принимает вид