Курсовая работа: Исследование метода простой итерации и метода Ньютона для решения систем двух нелинейных алгебраических уравнений

Выходные параметры:

xout – матрица размерности n×2 значений решения системы, составленная по строкам из решений на m-ном шаге;

dxout –матрица размерности n×2 значений ошибки решения, составленная по строкам из ошибок на m-ном шаге;

mout – вектор, составленный из номеров итераций на каждом шаге.

Текст программы :

Классический метод Ньютона – модуль mpi2.m

Входные параметры:

x 0 – вектор начальных приближений;

edop – допустимая ошибка вычислений;

Используемые переменные:

F – вектор функции, полученный в некоторой точке;

J – матрица Якоби, вычисленная в некоторой точке;

dx - вектор ошибки на каждом шаге итерационного процесса

delta – вектор промежуточных значений, используемых для расчета dx

nf , ndx – нормы вектора функции и вектора ошибки соответственно;

x - вектор решения системы на каждом шаге итерационного процесса.

Выходные параметры:

xout – матрица размерности n×2 значений решения системы, составленная по строкам из решений на m-ном шаге;

dxout –матрица размерности n×2 значений ошибки решения, составленная по строкам из ошибок на m-ном шаге;

mout – вектор, составленный из номеров итераций на каждом шаге.

Текст программы :

3 Описание тестовых задач

В данной работе спроектированы программа, реализующие методы простой итерации и Ньютона применительно к решению систем нелинейных уравнений. Для проверки предлагается решение системы уравнений с последующим исследованием рассматриваемых методов на её примере. При этом исследуется влияние вектора начального приближения к решению и значения допустимой ошибки на сходимость методов и число итераций.

1 . Решение системы обеими методами, графики решений и ошибок при начальных условиях :

Как и следовало ожидать, метод Ньютона сошелся на две итерации быстрее благодаря квадратичной скорости сходимости.

2 . При начальных условиях - начальные условия отстоят от точного решения примерно на 0,5.

Метод Ньютона опять сошелся быстрее на две итерации, общее число итерации каждого метода по сравнению с предыдущим решением увеличилось на единицу, поэтому можно сделать вывод, что разница между точным решением и начальным приближением 0,5 несущественно повлияла на сходимость.

3 . При начальных условиях - начальные условия отстоят от точного решения примерно на 2.

Результаты вычислений показывают, что при отстоянии начального приближения от точного значения на 2 количество итераций в методе простой итерации значительно возросло, в то время как число итерации метода Ньютона увеличилось всего на 1.

4 . Для проверки времени счета введем в модули методов новую переменную t, определяющую время счета, и возьмем начальные приближение, очень далекие от точного решения - начальные условия отстоят от точного решения примерно на 37.