Курсовая работа: Исследование метода простой итерации и метода Ньютона для решения систем двух нелинейных алгебраических уравнений

При начальных условиях x0=[1000;500]; edop=0.01 метод итераций сходится уже более чем за минуту и 44 тысячи итераций, а метод Ньютона – за неотображаемое время и 15 итераций. Таким образом, метод итераций хоть и сходится, но требует неадекватных эффективности вычислительных затрат, а метод Ньютона, несмотря на теорию о его несходимости при количестве итераций больше 6-7, сходится, и очень быстро.

Возьмем начальные условия x0=[10000000000; 1500000000], edop=0.01 и решим систему методом Ньютона.

t =0 0 0 0 0 0.0160

То есть метод сошелся за 0,016 секунд, выполнив при этом 35 итераций, и все еще сходится.

Увеличивая начальное приближения до величины порядка 10⁴⁰ , мы все еще получаем сходимость, при количестве итераций порядка 130.

4 Анализ результатов, выводы

Целью нашего исследование было сравнение методов простой итерации и Ньютона для решения систем из двух нелинейных уравнений по числу итераций, времени сходимости в зависимости от выбора начального приближения к решению и допустимой ошибки. Зависимость этих параметров от выбора начального приближения подробно представлена в предыдущем пункте. Проанализировав полученные результаты, можно сказать, что при достаточном удалении от точного решения количество итераций и время счета обоих методов, безусловно, возрастает, но в случае метода простой итерации количество итерации возрастает геометрически относительно метода Ньютона. Мы попытались определить границы сходимости метода Ньютона, но многократные расчеты при достаточно больших начальных приближениях (порядка 10⁴⁰ ) не смогли дать ответа на этот вопрос – точное решение достигалось за очень малое (в сравнении со степенью приближений) число итераций – порядка 130.

Сравнив методы по времени счета и количеству итераций при различной точности (в данной работе наглядно не представлено), можно сделать вывод, что метод Ньютона и по этому параметру эффективней метода простой итерации – при допустимой ошибке 10^-14 метод простой итерации сошелся за 235 итераций и 0,016 секунд, а метод Ньютона – за 7 итераций и неотобразимо малое время.

Таким образом, сделаем общий вывод: метод Ньютона на порядок эффективней метода простой итерации по таким параметрам, как время счета и число итераций при выборе начального приближения, достаточно далекого от точного решения или при достаточно высокой точности вычислений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При выполнении данной работы были рассмотрены теоретически и практически основные характеристики методов простой итерации и Ньютона для решения систем двух нелинейных уравнений.

Мы получили следующие результаты:

· метод простой итерации проще в реализации, чем метод Ньютона – он не требует, в частности, расчета матрицы Якоби на каждом шаге;

· методы сходятся за небольшое количество итераций, если начальное приближение взято близко к точному решению;

· при отдалении начального приближения от точного решения, скорость сходимости и число итераций методов отличаются на порядки, метод Ньютона сходится за гораздо меньшее время и число итераций;

· при очень сильном отдалении от начального решения применение метода простой итерации нецелесообразно ввиду очень больших вычислительных затрат;

· при уменьшении допустимой ошибки вычислительные затраты метода простой итерации значительно больше, чем метода Ньютона, но не так велики, как при увеличении начальных приближений на тот же порядок – то есть изменение точности имеет меньшее влияние на параметры сходимости, чем изменение начального приближения;

Метод Ньютона для решения систем двух нелинейных уравнений оказался более эффективным, чем метод простой итерации по всем рассматриваемым параметрам.

Нам не удалось определить мерность начального приближения, необходимого для того, чтобы метод Ньютона не сошелся.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах.–М.: Наука, 1972. – 368 с.

2. Сарычева О.М. Численные методы в экономике: Конспект лекций /НГТУ –Новосибирск, 1995. – 65 с.

3. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. – М.:Мир, 1975. – 558 с.