Курсовая работа: Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

6,789*10^-7

_ 3,383*102 (Вт/м² *К)

218 ^о С

А = 3,043*10-5 (м² /с)

11

X, м	U, o C
0	353
0,00386	343
0,00772	313
0,01158	261
0,01544	184
0,01930	74

2. Обработка результатов эксперимента.

2.1 Задача регрессии. Метод наименьших квадратов.

???? ??????? ????????? ? ???? (1.1). ?????? ????????????? ??????? ? ??????? ???, ??? ???? ??????????? ????? ??????, ?????????????? ??????? ????????? ?????????? ????????? ??????? ????????? ?? ????????????????? ???????? ???????????; ???????????? ????? ?? ???? ????????????????? ??????, ?.?. ??????? ???????? S:

(2.1)

? ????? ?????? ??????????? ? ??????????? ???????? ???????? S ?????:

Где k = 0, 1, 2. (2,2)

?? ????????? (2.1) ? (2.2) ????????:
(2.3)
?????
??????? (2.3) ?????? ???:

(2.4)

? ?????????? ?????????? ???????? S_k ? V_j . ????????? ??????? ????????????? ????????? (2.4) ????? ?p?:
??????? ?????? ?????? ??????? (2.4) ? ?????? ???????? ??????? p^-1 . ? ?????????? ????????:
?????????? ? (2.1) ????????? ???????? ?????? ????????????? ?_к , ??????? ??????????? ???????? ????? S:

S_min =0.7597

При построении доверительных интервалов для оценок коэффициентов определяем предварительно точечные оценки.

??????????????, ??? ????????????????? ???????? x_i ???????? ? ???????????? ?????? ????????, ? ????????? ?????? ????????? ???????? U_i ?????????? ? ???????????? ?? ??????????? ?????? ? ?????????? ?????????? ^ , ??????? ??????????. ??? ????????? ????????? ??????????? U_i ??????????? ????????? ??????????? ?? ???????:
??? r ? ????? ???????? ??????? ???????, ?????? ???????? ????? ??????????? ????????????????? ????? ? ??????????? ??????????? ?????? ?????????????, ?.?. r = 3.
?????? ?????????????? ??????? ????? ???:
?????? ????????? ?????????? ?????? ????????????? ?????? ?? ????????:

Где S_k – минор соответствующего диагонального элемента матрицы нормальной системы;

 главный определитель нормальной системы.

В нашем случае:

S₀ =3.5438 10^-22

S₁ =-8.9667 10^-14

S₂ =6.3247 10^-7

??????:
????????? ?????? ????????????? ???????????? ?? ??????????? ??????, ?.?. ??????? ??????? ?? ??????? ?????????????? ????????????????? ?????? Ui.
????????, ??? ??? ?????? ??????????? ? ???????????. ????? ????????? ????????:

Имеют распределения Стьюдента, а r = 3.

???????? ????????????? ??????????? =0,9 ? ?? ??????? ????????? ??????? ??????????? ???????? _ ?????? 2,35, ??????????????? ?????????:
????????????? ????????? ??? ?????????????:

(2.4*)

? ????? ?????? ?????? ???:

2.2 Проверка статистической гипотезы об адекватности модели задачи регрессии.

??????? ??????? ?????? n ????????????????? ???????? (x_i ;U_i ). ????????????, ??? ?????? ????????? x_i ???????????? ????, ? ????????? ?????? ????????? ?????????? U_i ????????? ??????????? ?????? ? ?????????? ?????????? ^ ?? ??????? ??????? ????????? ? ????:
???????, ?????? ?? ???? ???????????? ??????????? ??????? ???????, ?.?. ???????? ????:

(2.5)

C ??????? ??? ????? ????? ?????? ???? ??????? ? ??????????? ?????? ????????? ?????????? ????????? Ui ??? ???? ???????:

Где r₁ = 4 (количество точек – 6, параметра – 2).

?????????? ??????? ????????? ??? ??????????? ????? ?????? ????????????? ??????? (2.5)? ??????? ??? ????? ???:

(2.7)

????? ??? ??????? ??????? ??????, ???????:

(2.8)

Чем лучше функция регрессии описывает эксперимент, тем меньше для неё должна быть оценка дисперсии отдельного измерения Ui, т.к. при плохом выборе функции в дисперсию войдут связанные с этим выбором дополнительные погрешности. Поэтому для того, чтобы сделать выбор между функциями U(x) и U(1)(x) нужно проверить значимость различия между соответствующими оценками дисперсии, т.е. проверить гипотезу:

?0 ? ?????????????? ????????

Т.е. проверить, значимо ли уменьшение дисперсии при увеличении степени многочлена.

? ???????? ???????????? ???????? ?????????? ????????? ????????, ??????:

(2.9)

имеющую распределение Фишера с(r ; r₁ ) степенями свободы. Выбираем уровень распределения Фишера, находим критическое значение F^* _ , удовлетворяющее равенству: p(F>F^* _ =

В нашем случае F=349.02, а F^* _ =10,13.

???? ?? ??????????? ??????????? ??????????? ??????????? F>F_ , ??????? ??????????? 0,01, ?? ???????? ?₀ ???????? ?? ?????????. ?? ? ????? ?????? ????? ???????????? ???????????

, коэффициенты в котором неодинаковы.

3. Нахождение коэффициента теплопроводности .

??????????? ???????? ?? ??????? (1.5), ?????????:
(3.1)
????????? ?????????? ?????????? ??????????? ???????? ????????? I, ?????? ?? ??????????, ????? ????????????? ??????????? ?????????? ?? ???????????? 0,1%, ?.?.: