Курсовая работа: Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

(3.3)

Т.е. в качестве предельно допустимой абсолютной погрешности вычисления интеграла I возьмём 0,001Т (3.4)

Т=218 ^о С, следовательно, 0,218 ^о С.

3.1 Вычисление интеграла I методом трапеции

Использование теоретической оценки погрешности

??? ??????????? ????????? ???????? ?????????? ?????? n, ?? ??????? ????? ??????? ??????? ?????????????? [0;T] ???????????? ?? ???????:

, где M_ [f”(t)], te [0;T], f(t)=e^{- bt 3}

???????? ??????? (3.4) ????????:

(3.5)

????????????? f(t), ???????:
? ??????????? ??????? ??????????: f?(t)-f???(t)=0, ?????? ????????:

Далее вычисляем значения f’’(t) при t=t₁ , t=t₂ , t=0 и t=T, получаем:

f’’(t1)=1.5886 10^-4

f’’(t2)=-1.6627 10^-4

f’’(0)=0

f’’(T)=7.4782 10^-6

Итак: M_ 1,5886 10^-4 , откуда n=25.66; принимаем N=26.

????? ???????? ???????? I:

Погрешность вычисления :

3.2 Вычисление интеграла I методом парабол

??? ???????? ????? ???????????? ????????????? ?????? ??????????? ? ??????? ??????? ?????. ??? ??????????? ???????? ???????? ?????????? ?????? n, ?? ??????? ??????? ????????? ???????? ?????????????? ????? ?????????? ?? ???????:
, ??????:

Нахождение М₄ можно провести аналогично нахождению М₂ в предыдущем пункте, но выражение для f^IV (t) имеет довольно громоздкий вид. Поэтому правило Рунге – наиболее простой способ.

Обозначим через I_n и I_{2 n} значение интеграла I, полученное при разбиении промежутка интегрирования соответственно на n и 2n интервалов. Если выполнено равенство: |I_{2 n} -I_n | = 15, то |I-I_{2 n} |=

????? , ??????? ? n=2, ????????? n ?? ??? ???, ???? ?? ?????? ??????????? ??????????? (*1), ?????:

(3.6)

???????? ??????? ??????? (3.7):

Результаты вычислений сведём в таблицу:

n	In	I2n
4	102.11
8	101.61	0.5017

По формуле (3.7) I = 101,61 что в пределах погрешности совпадает со значением, полученным по методу трапеций

n=8		n=4
ti (8)	y8	ti (4)	y4
0	1	0	1
27.25	0.9864
54.5	0.8959	54.5	0.8959
81.75	0.6901
109	0.4151	109	0.4151
136.25	0.1796
163.5	0.0514	163.5	0.0514
190.75	0.0089874
218	0.00088179	218	0.00088179

4. Вычисление времени Т₀ установления режима

4.1 Решение уравнения комбинированным методом

Время установления режима определяется по формулам (1.6) и (1.7).

Проведём сначала отделение корней. Имеем y = ctg(x) и y = Ax. Приведём уравнение к виду: Axsin(x)-cos(x) = 0. Проведём процесс отделения корня.

F(x)	-1	-0.6285	0.4843
x	0.01	0.05	0.1

т.е. с [0.01;0.05]

Убедимся, что корень действительно существует и является единственным на выбранном интервале изоляции.

f(a) f(b)<0 – условие существования корня выполняется

f’(x) на [a;b] – знакопостоянна: f’(x)>0 – условие единственности также выполняется. Проведём уточнение с погрешностью не превышающей ^

Строим касательные с того конца, где f(x) f”(x)>0

f?(x)=(2A+1)cos(x) ? Axsin(x). f?(x)>0 ?? (a;b), ????????????? ??????????? ?????? ??????, ? ????? ?????. ??????????? ????? ?? ?????? ???????????:
?? ?????? ????:
?????????? ????? ?? ???? ???????, ???? ?? ?????????? ???????:

Результаты вычислений заносим в таблицу:

n	an	bn	f(an )	f(bn )
0	0.05	0.1	-0.6285	0.4843
1	0.07824	0.08366	-0.0908	0.0394
2	0.08202	0.08207	-9.1515 10-4	3.7121 10-4
3	0.08206	0.08206	-8.4666 10-8	3.4321 10-8

Т₀ = 72,7176 секунд.

4.2 Решение уравнения комбинированным методом

Приведём f(x) = 0 к виду x = (x). Для этого умножим обе части на произвольное число , неравное нулю, и добавим к обеим частям х: