Курсовая работа: Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

В качестве возьмём:

где М = max [f’(x)] на [a;b], а m = min [f’(x)] на [a’b]

В силу монотонности f’(x) на [a;b] имеем m = f’(а), М = f’(b). Тогда 0,045.

??????????? ? ????? ???? ?? ????????? ?????:
?????????? ????? ?? ??? ???, ???? ?? ?????????? ???????:

(q = max |’(x)| на [a’b])

’(x) на [a’b] монотонно убывает, поэтому максимум его модуля достигается на одном из концов.

’(0,05) = 0,3322 ’(0,1) = -0,3322, следовательно, q = 0.3322 < 1. В этом случае выполняется условие сходимости и получается последовательность:

i	xi	( xi )	 xi
0	0.075	0.082392	0.00739
1	0.082392	0.082025	0.000367
2	0.082025	0.08206	3.54 10-5
3	0.08206	0.082057	3.33 10-6
4	0.082057	0.082057	3.15 10-7

Итак, с погрешностью, меньшей 10^-4 , имеем:

Т0 = 72,7176 с. , 0.03142

5. Решение краевой задачи

?????????? ????? ?????? ?????????. ??????? ?????? ??????? ? ????:

(5.1)

????? ????? ?????????? y = (U - _ _ , ??????? (5.1) ? ????:

(5.2)

_ _ 0.18L/2 =0.0193. ? ???????? ?????? ????????? ??????? .
?????, ????????? y(x) ? ????????? (5.2) ? ??????????????? ????? ??? ?????????? ???????? , ???????:

(5.3)

??????????? ????? ??????? ??????? ????:
?? (5.2) ? (5.3) ??????? ????? ??????? ????????? ??? y₀ :

где y₀ с тильдой – частное решение данного неоднородного уравнения; y₍₁₎ и y₍₂₎ – линейно независимые решения однородного уравнения.

????? ?????????:

y_0общ = 1 + c₁ ch(px)+c₂ sh(px), где p = 0.01953

????????? ?????? ?? ????????? ???????:

откуда с₁ = 0, с₂ = -0,57; т.е. имеем функцию:

y₀ = 1 - 0.57 sh(px)

????? ???????:
??????? ???????:

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получим:

А₁ = 0; А₂ = -0,1083; В₁ = 0; В₂ = 17,1569;

Тогда общее решение для y₁ имеет вид:

?₃ = 0; ?₄ = 0,0462

Перейдя к старой переменной U, получим:

_ _ _ _ 
???????? ?????????:

Пользуясь этой формулой, составим таблицу значений функции U(x):

x	U(x)	U
0	352.9075	353
0.0019	350.4901
0.0039	343.1972	343
0.0058	330.9053
0.0077	313.4042	313
0.0097	290.391
0.0116	261.4598	261
0.0135	226.0893
0.0154	1836255	184
0.0174	133.2579
0.0193	74	74

Используя данную таблицу, строим график функции U(x).

[см. приложение 1]

6. Заключение

Решение задачи на ЭВМ при помощи вычислительной системы ManhCad 7.0 дало результаты (функцию распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне), полученные по решению практического задания и обработкой эксперимента (функции регрессии), которые практически (в пределах погрешности) совпадают с экспериментальными значениями.

Список литературы

1. Методические указания «Методы приближённых вычислений. Решение нелинейных уравнений» (ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1983)

2.Методические указания «Приближённые методы ислисления определённых интегралов» (ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1986)

Методические указания «Изучение распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне» (ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1988)