Курсовая работа: Канонический вид произвольных линейных преобразований

Ae₁ = l ₁ e₁ , Ae₂ = e₁ + l ₁ e₂ , … , Ae_p = e_p-1 + l ₁ e_p ;

Af₁ = l ₂ e₁ , Af₂ = f₁ + l ₁ f₂ , … , Af_q = f_q-1 + l ₂ f_q ; (2)

Ah₁ = l _k h₁ , Ah₂ = h₁ + l _k h₂ , … , Ah_s = h_s-1 + l _k h_s .

Мы видим, что базисные векторы каждой группы переходят при нашем преобразовании в линейную комбинацию векторов той же группы. Отсюда следует, что каждая группа базисных векторов порождает подпространство, инвариантное относительно преобразования А. Рассмотрим несколько подробнее преобразование, задаваемое формулами (2).

В подпространстве, порожденном каждой группой, есть собственный вектор; например, в подпространстве, порожденном векторами е₁ , е₂ , … , е_р , таким собственным вектором является е₁ .

Вектор е₂ называют присоединенным собственным вектором первого порядка. Это значит, что Ае₂ пропорционально е₂ с точностью до собственного вектора, как это видно из равенства

Ae ₂ = l ₁ e ₂ + e ₁ .

Аналогично е₃ , е₄ , … называют присоединенными векторами второго, третьего и т. д. порядков.

Каждый из них является «как бы собственным», т. е. собственным с точностью до присоединенного вектора низшего порядка

Ae_k = l ₁ e_k + e_{k -1} .

Таким образом, базис каждого инвариантного подпространства состоит из одного собственного вектора и такого количества присоединенных, которое нужно добавить, чтобы получить базис данного подпространства.

В каждом из этих подпространств имеется , с точностью до множителя, лишь один собственный вектор.

Теорема . Пусть в комплексном n – мерном пространстве задано линейное преобразование А. Тогда можно найти базис, в котором матрица линейного преобразования имеет нормальную форму. Другими словами, можно найти базис, в котором линейное преобразование имеет вид (2).

2. Приведение произвольного преобразования к нормальной форме

Уже упоминалось в п. 1, что в случае, когда у преобразования А не хватает линейно независимых собственных векторов (т. е. когда их число меньше размерности пространства), базис приходится дополнять за счет так называемых присоединенных векторов (их точное определение будет дано чуть позже). В этом разделе дается способ построения базиса, в котором матрица преобразования А имеет жорданову нормальную форму. Этот базис мы непосредственно наберем из собственных и присоединенных векторов, и такой способ выбора является , в некотором смысле. Наиболее естественным.

2.1 Собственные и присоединенные векторы линейного преобразования

Пусть l₀ – некоторое собственное значение преобразования А.

Определение 1. Вектор х ¹ 0 называется собственным вектором преобразования А, отвечающим собственному значению l ₀ , если

Ах = l ₀ х, т. е. (А - l ₀ Е)х = 0. (1)

Рассмотрим совокупность всех векторов, удовлетворяющих условию (1) при фиксированном l₀ . Ясно, что совокупность этих векторов является подпространством пространства R

Обозначим его . Легко видеть, что инвариантно относительно преобразования А.

Заметим, что подпространство состоит из всех собственных векторов преобразования А, отвечающих собственному значению l₀ , к которым добавлен еще нулевой вектор .

Определение 2. Вектор х называется присоединенным вектором 1-го порядка преобразования А, отвечающим собственному значению l ₀ , если вектор

у = (А - l ₀ Е)х

является собственным вектором преобразования А.

Пусть l₀ – собственное значение преобразования А.

Подпространство, состоящее из всех векторов х, для которых выполнено условие

(А - l ₀ Е)² х = 0, (2)

т. е. ядро преобразования (А - l₀ Е)² , обозначим . является инвариантным подпространством пространства R. А получается это подпространство, если к подпространству добавить присоединенные векторы 1-го порядка.

Аналогично вводим подпространство , состоящее из всех векторов х, для которых

(А - l ₀ Е) ^k х = 0. (3)