Курсовая работа: Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения F-подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое простое число
Так как --- наследственная формация, то
.
Так как --- насыщенная формация, то
. Нетрудно показать, что
имеет единственную минимальную нормальную подгруппу
и
. Согласно условию,
либо группа простого порядка, либо группа Шмидта с нормальной
-силовской подгруппой.
Пусть . Так как
, то
. Отсюда следует, что
. Противоречие.
Пусть --- группа Шмидта и
, где
. Очевидно, что
. Тогда из
следует, что
. А это значит, что
. Так как
, то
. Но тогда
. Так как
--- полный экран, то
. Так как
--- внутренний экран, то
. Получили противоречие.
Покажем, что из 2) следует 1).
Пусть . Согласно условию,
--- разрешимая группа. Пусть
. Очевидно, что
имеет единственную минимальную нормальную подгруппу
, причем
---
-группа и
. Согласно теореме 2.2.5,
, где
,
--- полный локальный экран формации
. Согласно лемме 2.2.20,
. А это значит, что
, где
. Отсюда нетрудно заметить, что
--- группа Шмидта. Согласно лемме 2.2.21,
--- либо группа Шмидта с нормальной
-силовской подгруппой, либо группа простого порядка. Теорема доказана.
1.5 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть --- наследственная насыщенная
-формация Шеметкова. Тогда
содержит любую
-разрешимую группу
, где
и
---
-подгруппы и индексы
,
не делятся на
.
Доказательство. Доказательство проведем от противного. Тогда нетрудно доказать, что имеет единственную минимальную нормальную подгруппу
, причем
и
. Так как
---
-разрешимая группа, то либо
---
-группа, либо
-группа. Если
---
-группа, то из того, что
следует, что
. Противоречие.
Пусть ---
-группа. Согласно условию,
и
. Так как
и
, то
. Отсюда следует, что
. Аналогичным образом получаем, что
. Отсюда и группа
. А это значит, что
. Получили противоречие. Теорема доказана.
В работе [33] было доказано, что любая наследственная насыщенная формация Шеметкова замкнута относительно произведения
-субнормальных
-подгрупп. Для наследственных насыщенных
-формаций Шеметкова справедлива следующая теорема.
1.6 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть --- наследственная насыщенная
-формация Шеметкова. Тогда
содержит любую группу
, где
и
---
-подгруппы, индексы
,
не делятся на
и либо
, либо
-субнормальны в
.
Доказательство. Пусть --- наследственная насыщенная
-формация Шеметкова. Тогда, согласно теореме 5.1.4, она имеет следующее строение:
где --- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число
.
Пусть --- группа наименьшего порядка, не принадлежащая
, такая, что
, где
и
---
-подгруппы, индексы
,
не делятся на
и
-субнормальна в
.
Нетрудно показать, что имеет единственную минимальную нормальную подгруппу
.
Так как --- насыщенная формация, то
.
Пусть --- абелева группа и
---
-группа. Если
, то из того факта, что
, следует, что
. Противоречие.
Если ---
-группа, то, как и в теореме 5.1.5, можно показать, что
. Противоречие.
Пусть --- неабелева группа. В этом случае
z\ неабелевых простых групп и .
Рассмотрим подгруппу . Так как
--- собственная
-субнормальная подгруппа группы
и
, то нетрудно показать, что
. Рассмотрим подгруппу
. По тождеству Дедекинда
Очевидно, что ---
-субнормальная подгруппа
. Так как
--- наследственная формация и
, то
. Очевидно, что индексы
,
не делятся на
. Тогда по индукции,
. Если
, то
. Получили противоречие. Значит,
. Так как
--- нормальная подгруппа из
, то
--- нормальная подгруппа из
. Но тогда
где --- изоморфные неабелевы простые группы,
. Так как
и
--- наследственная формация, то
. Отсюда нетрудно показать, что
. Если
делится на
, то из того, что
,
следует, что
--- нормальная подгруппа группы
. Противоречие. Если
---
-группа, то ясно, что
. Противоречие. Теорема доказана.
2. Описание
-формаций Шеметкова
Введем следующее определение.