Курсовая работа: Колебания маятника с различными механизмами затухания

Опыт показывает, что физический маятник, выведенный из положения равновесия, совершает вращательные колебания. Согласно основному закону динамики вращательного движения произведение момента инерции системы «груз – подвес» на угловое ускорение маятника равно равнодействующему моменту внешних сил: силы тяжести m·g и силы сопротивления F_c (момент силы деформации растяжения тела N равен нулю). Спроецировав это уравнение на направление оси вращения, для случая малых колебаний получим следующее выражение:

I·a" = M + M_c = - k·a- h·a', (1)

где α(t) - угол отклонения колеблющегося груза, отсчитываемый от положения равновесия;

α' и α" - соответственно угловая скорость и угловое ускорение маятника;

k и h - размерные константы;

I - момент инерции системы «груз – подвес»;

М = -m^. g^. r^. sin(α) = -k^. sin(α) - момент возвращающей силы (для малых колебаний М = -k^. α);

M_c = -h^. α' - момент сил сопротивления (выражение справедливо для малых угловых скоростей).[5]

Поделив левую и правую части уравнения (1) на величину I и перенеся все слагаемые в левую часть, получим соотношение, аналогичное выражению, описывающему движение собственных затухающих колебаний груза на пружине.

a" +w₀ ² ·a + 2b·a' = 0, (2)

где b = h/2I - коэффициент затухания;

w₀ = (k/I)^1/2 - собственная частота колебаний груза.

Решение уравнения (2) имеет вид:

a(t) = a₀ ·e^{- b t} ·sin(w·t + j),(3)

гдеw=(w₀ ² - b² )^1/2 - частота затухающих колебаний груза.

Как видно из уравнения (3) амплитуда углового смещения будет уменьшаться (затухать) с течением времени по экспоненциальному закону. Коэффициент затухания определяет быстроту этого процесса. Он равен промежутку времени по истечении которого, амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Далее рассмотрим уравнение собственных затухающих колебаний пружинного маятника.

Пружинным маятником называется система, состоящая из груза массой m и невесомой пружины жесткостью k.

Пусть масса маятника m , коэффициент упругости пружины k , сила сопротивления, действующая на маятник, F = - bv , v - скорость маятника, b - коэффициент сопротивления среды, в которой находится маятник. Так как рассматриваем только линейные системы, b = const , k = const . x - смещение маятника от положения равновесия.

(второй закон Ньютона)

Данное уравнение и есть дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний пружинного маятника. Принято записывать его в следующем, так называемом каноническом виде:

- коэффициент затухания, - собственная частота свободных (незатухающих) колебаний пружинного маятника, то, что раньше мы обозначали просто w.

Уравнение затухающих колебаний в таком (каноническом) виде описывает затухающие колебания всех линейных систем; конкретная колебательная система отличается только выражениями для b и j₀ .

2. Движения маятника с различными механизмами затухания

При исследовании собственных колебаний предполагается отсутствие внешней среды. Наличие среды приводит к появлению диссипативной силы, которая, как мы показали, постепенно уменьшает первоначально переданную системе энергию. Это выражается через уменьшение собственной частоты колебаний ω₀ , также как постепенным уменьшением амплитуды колебаний.

Примечание: во избежание путаницы нумерация формул останется такой же как в научной литературе.[6]