Курсовая работа: Колебания маятника с различными механизмами затухания

,

Уравнение движения частицы примет следующий вид:

, (1.35)

где

. (1.36)

Подставляя последнее в (1.35), получим:

(1.37).

Так как полученное уравнение верно для произвольного момента времени, то выражение в скобках должно быть нулем. Последнее дает для неизвестной величины следующее значение

(1.38)

где

, (1.39)

Учитывая (1.38), решение (1.36) примет следующий вид:

, (1.40)

Полученное уравнение движения описывает затухающие колебания, где и – постоянные, определяемые из начальных условий.

В зависимости от соотношения коэффициента трения и частоты собственных колебаний , затухающие колебания подразделяются на два класса. Они соответствуют случаям периодического и непериодического затухания.

Периодическое затухание. Оно осуществляется при слабых силах трения:

, (1.41)

когда величина (1.39) действительна. В этом случае решение (1.40) выражается формулой (в действительной форме)

, (1.42)

Графически это колебание представлено на рисунке (см. приложение 2) и является колебанием с постоянной частотой (1.39), но убывающей с течением времени амплитудой. В этом смысле это не только не гармоническое, но даже и не периодическое колебание, поскольку колебания не повторяются в том же виде. Тем не менее, удобно говорить о периоде этих колебаний, понимая под этим промежуток времени

, (1.43)

Говоря «амплитуда затухающих колебаний» понимают величину

, (1.44)

которая есть максимальное смещение частицы относительно положения равновесия во время колебаний. Из выражения (1.44) следует, что за время , (1.45) амплитуда убывает в раз. Этот промежуток времени называется временем затухания, а – декрементом затухания.

Наиболее объективной характеристикой затухания колебаний является логарифмический декремент, который является отношением периода колебаний (1.43) к времени затухания (1.45)

, (1.46)

Легко заметить, что логарифмический декремент равен натуральному логарифму отношения двух последующих амплитуд:

, (1.47)