Курсовая работа: Критерій відношення правдоподібності для великих вибірок
де Звідси випливає, що
Оскільки слушна оцінка для
, а другі похідні функції правдоподібності, за припущенням, неперервні по
, то справедливо:
На основі закону великих чисел при величина
збігається за ймовірністю( за розподілом ) до середнього значення
Таким чином, матриця граничних значень коефіцієнтів квадратичної форми у (3) співпадає з інформаційною матрицею . Звідси слідує, що випадковий вектор
має в границі такий же розподіл, як і нормальний
випадковий вектор
Таким чином, права частина (3) має в границі такий розподіл, як і квадратична форма
. Тоді
. Звідки і випливає співвідношення (2). Теорему доведено.
Розглянемо важливий приклад застосування викладених результатів до поліноміального розподілу
Приклад( метод відношення правдоподібності для поліноміального розподілу). Нехай проводяться незалежні випробування, в кожному з яких реалізується один із можливих наслідків
, тобто спостерігається випадкова величина
, що приймає значення
(
, якщо наступила подія
). Позначимо через
вектор ймовірностей цих подій(
) і через
вектор частот реалізацій відповідних наслідків в
випробуваннях(
). Як відомо, розподіл вектора
має поліноміальний розподіл
. Припустимо тепер, що ймовірності подій
невідомі і потрібно перевірити гіпотезу
де
заданий вектор, що задовольняє умовам:
. Альтернативна гіпотеза має вигляд
.
Тут роль параметра відіграє вектор
, але оскільки на значення параметрів накладена вимога
, то бажано позбутись цього обмеження, виключивши, наприклад,
. Таким чином, надалі покладаємо
і
.
Оцінками максимальної правдоподібності для параметрів є відносні частоти реалізацій відповідних подій, тобто
, тому в даному випадку статистика відношення правдоподібності має вигляд:
Звідси
Якщо справедлива гіпотеза , то в границі при
ця статистика має розподіл
, тому при заданому рівні значущості
критичну границю вибирають рівною
. Тоді критична множина матиме вигляд:
, причому критична точка
визначається із співвідношення:
Тому, якщо
то гіпотеза відхиляється( тобто вона не узгоджується із статистичними даними проведеного експерименту, і ймовірність того, що ми відхиляємо правильну гіпотезу не перевищує значення
), у протилежному випадку – приймається.
Приклад 2(метод відношення правдоподібності для перевірки значень параметрів нормального розподілу)
Розглядається вибірка з нормального розподілу. Потрібно перевірити гіпотезу про значення параметрів нормального розподілу за двосторонньої альтернативи. А саме,, альтернативна гіпотеза
. Обчислимо статистику критерію. Для цього знайдемо функцію правдоподібності для нормального розподілу
. Тоді
.
Звідси,
Тут,
. Тому статистика критерію матиме вигляд:
.
У наступному розділі ми більш детально розглянемо застосування критерію відношення правдоподібності для великих вибірок до перевірки статистичних гіпотез.