Курсовая работа: Линейные диофантовы уравнения

Способ 1.

Пусть

Рассмотрим два случая:

а). не делится на . В этом случае решений нет по теореме 2.

б). делится на , поделим на .

;

.

Таким образом получили новое ЛДУ, с тем же множеством решений, но уже со взаимно-простыми коэффициентами. Поэтому далее мы будем рассматривать именно такие уравнения.

Рассмотрим , .

, перейдем к сравнению,

.

Т.к. , то сравнение имеет единственное решение .

; подставим в уравнение.

;

;

, причем .

Обозначим .

Тогда общее решение можно найти по формулам: , где .

Пример. , .

Найдем решение сравнения ;

;

, т.е.

.

;

Получили общее решение: , где .

Способ 2.

Рассмотрим еще один способ нахождения решения ЛДУ с двумя неизвестными, а для этого рассмотрим уравнение вида . Уравнения такого вида называются линейными однородными диофантовыми уравнениями (ЛОДУ). Выражая неизвестную , через неизвестную приходим к . Так как x должен быть целым числом, то, где - произвольное целое число. Значит. Решениями ЛОДУ являются n-ки вида , где . Множество всех таких n-ок называется общим решением ЛОДУ, любая же конкретная пара из этого множества называется частным решением.

Рассмотрим теперь уравнение , . Пусть n-ка его частное решение, а множество n-ок общее решение соответствующего ЛОДУ. Докажем предложение.