Курсовая работа: Линейные диофантовы уравнения

Доказательство. То, что правые части указанных в формулировке теоремы равенств действительно являются решениями, проверяется их непосредственной подстановкой в исходное уравнение. Покажем, что любое решение уравнения имеет именно такой вид, какой указан в формулировке предложения. Пусть - какое-нибудь решение уравнения . Тогда , но ведь и . Вычтем из первого равенства второе и получим:

- однородное уравнение. Пишем сразу общее решение: , откуда получаем:

. Доказательство завершено.

Встает вопрос о нахождении частного решения ЛДУ.

По теореме о линейном разложении НОД, это означает, что найдутся такие и из множества целых чисел, что , причем эти и мы легко умеем находить с помощью алгоритма Евклида. Умножим теперь равенство на и получим: , т.е., .

Таким образом, для нахождения общего решения находим общее решение ЛОДУ, частное решение ЛДУ и их складываем.

Замечание: особенно этот способ удобен, когда или . Если, например, , , тогда n-ка , очевидно, будет частным решением ЛДУ. Можно сразу выписывать общее решение.

Пример. , .

Найдем частное решение. Используем алгоритм Евклида.

;

Получаем линейное разложение НОД:

, т.е .

,

Получили общее решение: , где .

Как видим, получили решение, не совпадающее с решением, найденным первым способом.

Обозначим и получим , т.е эти решения равносильны.

Способ 3.

Еще один способ опирается на теорему:

Пусть - произвольное решение диофантова уравнения

, , тогда

множество решений уравнения в целых числах совпадает с множеством пар , где , , где t – любое целое число.

Доказательство этого несложного факта можно найти, например, в книге Бухштаба [2, стр. 114].

Опять же частное решение можно легко отыскать с помощью алгоритма Евклида.

4. Нахождение решений произвольного ЛДУ.

Перейдем теперь к решению ЛДУ с неизвестных, т. е. уравнений вида

где все коэффициенты и неизвестные – целые числа и хотя бы одно . Для существования решения по теореме 2, необходимо, чтобы