Математика / Курсовая работа: Локальные формации с метаабелевыми группами

Курсовая работа: Локальные формации с метаабелевыми группами

тогда и только тогда, когда является расширением -группы с помощью -группы;

тогда и только тогда, когда имеет нормальную подгруппу такую, что

Если , то вместо пишут Обратим внимание на тот факт, что если – нормальные подгруппы группы , причем для любого , то Заметим еще, что операцию можно определить с помощью понятия подпрямого произведения. Напомним (см. Каргаполов и Мерзляков [1]), что подгруппа прямого произведения называется подпрямым произведением групп если проекция на совпадает с Легко видеть, что тогда и только тогда, когда есть подпрямое произведение некоторого конечного числа -групп.

Определение 2.2. Класс называется замкнутым относительно операции или, более коротко, - замкнутым , если

Формацию можно определить теперь как класс групп, который одновременно -замкнут и -замкнут. -замкнутый класс согласно Гашюцу [3] называется насыщенным. -замкнутый класс групп называется гомоморфом. Класс групп называется замкнутым относительно подгрупп (нормальных подгрупп), если он -замкнут (соответственно -замкнут).

Лемма 2.1.. Если класс групп содержит единичную группу и -замкнут, то

Доказательство. Относительно операций и утверждение очевидно. Пусть – произвольный класс групп. Ясно, что Если , то в найдется нормальная подгруппа такая, что . Группа имеет нормальную подгруппу такую, что и Но тогда Так как , то , а значит, Таким образом, , что и требуется.

Пусть . Если , то имеет нормальную -подгруппу такую, что Группа имеет нормальную -подгруппу такую, что . Так как и , то из -замкнутости класса следует, что . Значит, , т.е. . Обратное включение очевидно.

Лемма 2.2. Для любого класса справедливо следующее утверждение:

Доказательство. Если , то Пусть Если , то , а значит, . Таким образом, . Пусть . Тогда имеет такие нормальные подгруппы , что Группа имеет такие нормальные подгруппы , что Так как , то , что и доказывает равенство

Лемма 2.3. Для любого класса имеет место включение

Доказательство. Если , то . Пусть и группа является подпрямым произведением групп , где . Рассмотрим функцию . Функция является гомоморфизмом группы в группу . Ясно, что

есть подпрямое произведение групп , причем . Следовательно, , и лемма доказана.

Лемма 2.4.

В работе Фишера, Гашюца и Хартли [1] введено следующее понятие, в некотором смысле двойственное определению формации.

Определение 2.3. Класс групп называется классом Фиттинга , если он одновременно -замкнут и -замкнут.

Класс Фиттинга мы будем в дальнейшем называть иначе радикальным классом. Ввиду двойственности (нормальная подгруппа – фактор-группа) формацию можно было бы назвать корадикальным классом.

Определение 2.4. Пусть непустой -замкнутый класс, содержащий 1. Обозначим через и назовем - радикалом группы произведение всех ее нормальных -подгрупп.

Классы являются радикальными. -радикал группы – это ее подгруппа Фиттинга -радикал обозначают иначе через и называют -радикалом. -радикал называют разрешимым радикалом; понятны также термины -нильпотентный радикал, -замкнутый радикал и т.д. Класс всех -нильпотентных групп является одновременно радикальным и корадикальным; – это -нильпотентный радикал группы .

В дальнейшем мы будем изучать формации, замкнутые относительно тех или иных операций; в частности, будут рассматриваться радикальные формации, т.е. формации, являющиеся одновременно и классами Фиттинга. Сейчас мы обратимся к задаче построение формаций с помощью операций

Теорема 2.1. Пусть и – формации, причем либо , либо замкнута относительно нормальных подгрупп. Тогда – формация, совпадающая с произведением

Определение 2.5. Пусть – некоторое множество групп. Пусть – пересечение всех тех формаций, которые содержат класс называется формацией, порожденной множеством групп

Заметим, что операцию часто обозначают иначе через Если то пишут вместо , причем в этом случае называют формацией, порожденной группой .

Теорема 2.2. Для любого класса имеет место равенство:

Доказательство. Если , то , и утверждение верно. Пусть . Так как , то класс является -замкнутым. есть класс и по лемме 2.2. Используя это и леммы 2.3 и 2.4, получаем