Курсовая работа: Локальные формации с метаабелевыми группами

Из условия 2) вытекает, что экран принимает одинаковое значение на изоморфных группах, т.е. является групповой функцией в смысле определения 3.1. Кроме того, видно, что если – экран, то каждый f-центральный ряд после удаления повторений может быть уплотнен до f-центрального главного ряда, а значит, класс групп, обладающих f-центральными рядами, совподает с формацией .

Лемма 3.1. Пусть – экран, – группа операторов группы , – некоторая нормальная -допустимая подгруппа из . Если обладает нормальным -допустимым рядом, факторы которого -центральны относительно , то один из таких рядов проходит через .

Доказательство. Пусть дан ряд, удовлетворяющий условию леммы:

Пусть . Тогда ряд

будет искомым. В этом нетрудно убедиться, используя определение экрана и -изоморфизмы:

Лемма 3.2. Справедливы следующие утверждения:

1) пересечение любого непустого множества экранов также является экраном;

2) объединение любой непустой цепи экранов также является экраном.

Доказательство. Первое утверждение очевидно. Пусть непустое множество экранов является цепью, т.е. линейно упорядочено (с отношением частичной упорядоченности , введенным в определении 3.5). Тогда для любой группы множество формаций линейно упорядочено относительно включения, а следовательно, ввиду леммы 1.1 объединение является формацией. Тем самым лемма доказана.

Определение 3.2. Экран назовем:

1) p-однородным , если он p-постоянен и для любой группы и ее силовской p – подгруппы имеет место ;

2) однородным , если он p-однороден для любого простого p;

3) локальным , если он является локальной групповой функцией;

4) композиционным , если для любой группы имеет место , где пробегает все крмпозиционные факторы группы

5) пустым , если для любой неединичной группы ;

6) -экраном , если для любой группы .

-экран при будем называть единичным экраном.

Легко видеть, что каждый локальный экран является однородным, а каждый композиционный экран является примарно постоянным.

Пример 3.1. Пусть и – непустые формации, причем , а групповая функция такова, что для каждой нееденичной примарной группы и для любой непримарной группы . Тогда – однородный экран, не являющийся ни локальным, ни композиционным.

Пример 3.2. Пусть – непустая формация, а групповая функция такова, что для любой нееденичной группы выполняются условия:

1) , если не имеет абелевых композиционных факторов;

2) , если имеет хотя бы один абелев композиционный фактор.

Тогда – композиционный экран, не являющийся однородным.

Замечание 1. Локальный экран полностью определяется своими значениями на примарных подгруппах. Поютому, чтобы построить локальный экран , достаточно каждому простому числу поставить в соответствие некоторую формацию , а затем для любой группы положить , где пробегает .

Замечание 2. Чтобы построить композиционный экран , нужно каждой простой группе поставить в соответствие некоторую формацию