Курсовая работа: Математична логіка

Значення "істина" або "фальш", які надані деякому висловлюванню, називають значенням істинності цього висловлювання. Значення "істина" позначають літерою Т (від англійського truth), а "фальш" - літерою F (від false). Для позначення висловлювань використовують малі латинські букви як з індексами, так і без них. Символи, що використовують для позначення висловлювань, називають атомарними формулами, або атомами.

Приклад 1.2.

1. р: "Сніг білий".

2. g: "Київ - столиця України".

Тут символи р, g атомарні формули.

Багато речень утворюють об'єднанням одного або декількох висловлювань. Отримане висловлювання називають складним висловлюванням. Його утворюють із наявних висловлювань застосуванням логічних зв'язок. Такі побудови вперше розглянуто 1845 р. у книзі англійського математика Д.Буля "TheLawsofTruth".

Розглянемо питання побудови нових висловлювань з тих, що ми вже маємо. Для цього в логіці висловлювань використовують п'ять логічних зв'язок: заперечення (читають "не" та позначають "¬"), кон'юнкцію (читають "і" та позначають ""), диз'юнкцію (читають "або" та позначають ""), імплікацію (читають "якщо..., то" та позначають "→") та еквівалентність (читають "тоді й лише тоді" та позначають "~").

Приклад 1.3.

1. Сніг білий і небо теж біле.

2. Якщо хороша погода, то ми їдемо відпочивати.

У наведених прикладах логічні зв'язки - це "і" та "якщо..., то".

Приклад 1.4. Розглянемо прості висловлювання, які позначимо:

р: "Висока вологість", g: "Висока температура", r: "Ми почуваємо себе добре". Тепер речення "Якщо висока вологість та висока температура, то ми не почуваємо себе добре" можна записати у вигляді складного висловлювання ((pg)→(¬r)).

У логіці висловлювань атомp або складне висловлювання називають правильно побудованою формулою, або формулою. При вивченні формул розглядають їх два аспекти — синтаксис та семантику.

Синтаксис - це сукупність правил, які дозволяють будувати формули та розпізнавати правильні формули серед послідовностей символів.

Формули у логіці висловлювань визначають за такими правилами:

1. Атом є формулою.

2. Якщо р формула, то (¬p) - теж формула.

3. Якщор та g - формули, то (рg), (рg), (р→g), (¬g) - формули.

4. Жодних інших формул, крім породжених застосуваннямвказаних вище правил, немає.

Формули, так само як і атоми, позначають малими латинськими буквами з індексами або без них.

Приклад 1.5. Вирази (р→), (р), (р¬), (g) - не формули.

Якщо не виникає непорозумінь, то деякі пари круглих дужок можуть бути випущені.

Приклад 1.6. Вирази рg, р→g є формулами (рg) та (р→g), відповідно.

Семантика - це сукупність правил, які надають формулам значення істинності.

Нехайpта g — формули. Тоді значення істинності формул (¬p), (рg), (рg), (р→g) та (р~g) так пов'язані зі значеннями істинності формул р та g.

1. Формула (¬р) істинна, коли р фальшива, і фальшива, коли рістинна. Її читають "не р", або "це не так, що р" та називаютьзапереченням р. Замість (¬р) заперечення р позначають також. У такому разі знак заперечення одночасно відіграє рольдужок.

2. Формула (рg) істинна, якщо р та g одночасно істинні. У всіх інших випадках (рд) фальшива. Формулу (рg) читають "р і g" та називають кон’юнкцією формул р та g.

3. Формула (рg) істинна, якщо істинна принаймні одна з формулр або g. В іншому випадку (рg) - фальшива. Формулу (рg) читають "р або g" та називають диз'юнкцією формул р та g.