Курсовая работа: Метод кусочного размножения оценок при обработке реализаций сигналов ограниченного объема
Выделение трех участков связано с тем, что в начале и конце реализации оценивание происходит по группам оценок различного объема. На первом интервале исходной выборки , количество оценок полезной составляющей в каждый момент времени пропорционально номеру отсчета , на втором интервале – количество оценок равно ширине скользящего интервала и составляет значение, а на последнем интервале оценивания , с ростом номера отсчета количество оценок в каждом сечении уменьшается от до 1 (рис. 1).
Оценка исходного ряда (5) представляет собой также матрицу такого же размера :
. (6)
Матрица (6) получается в результате оценивания полезной составляющей по значениям , , каждой строчки матрицы (5). Для перехода от матричного представления оценки обратно к одномерной реализации необходимо усреднить ее значения по столбцам. Результирующая оценка полезной составляющей запишется в следующем виде:
(7)
Значения оценок, составляющие матрицу (6), получены путем аппроксимации исходной реализации , для каждого методом наименьших квадратов. Таким образом, соответствует номеру строки матрицы оценок (6). В работе [9] приведены результаты исследования для случая, когда на каждом интервале производится аппроксимация функциями пространства (2), при этом оно ограничено условием . Полученные результаты являются частными и не позволяют исследовать зависимость погрешности оценивания от параметров метода обработки. Для проведения таких исследований необходимо получить общее решение задачи аппроксимации на каждом скользящем участке для аппроксимирующего полинома произвольной степени . Использование ранее предложенного подхода имеет следующие недостатки [5]:
- минимизация целевой функции метода наименьших квадратов при произвольной степени аппроксимирующего полинома сводится к решению системы уравнения, что приводит к значительным вычислительным затратам при больших ;
- в случае, если необходимо увеличить или уменьшить степень аппроксимирующего полинома, производится полный пересчет всех ранее полученных коэффициентов и оценок.
Использование системы ортогональных многочленов позволяет устранить эти недостатки.
Исходная дискретная последовательность определена в узле. Введем систему ортогональных многочленов Лежандра, где последовательно возрастающих степеней, обладающие свойством [5]:
,
где – некоторая весовая функция. Будем рассматривать случай, когда .
Таким образом, имея систему ортогональных многочленов, можно построить многочлен наилучшего приближения в смысле минимума квадратичной целевой функции. В общем случае аппроксимирующую полиномиальную функцию можно представить в виде [5]:
. (8)
Отметим, что полином (8) также принадлежит к пространству (2).
В соответствии с общей теорией ортогональных многочленов коэффициенты определяются выражением [5]:
, (9)
где – норма ортогональных многочленов.
В соответствии с предлагаемым методом разбиения оценки коэффициентов полинома (8) на каждом скользящем интервале различны, тогда выражение (9) перепишется в следующем виде:
,
где , – длина интервала разбиения.
Анализ выражения для показывает, что коэффициенты зависят не только от степени полинома, но и от номера интервала . В соответствии с выражением (7) результирующая оценка полезного сигнала через системы ортогональных многочленов запишется в следующем виде:
кусочное размножение оценка сигнал
(10)
где индекс в показывает степень аппроксимирующего полинома на каждом скользящем интервале.
Выражение (10) представляет собой обобщенное уравнение, которое позволяет получить оценку полезной составляющей предлагаемым способом разбиения с последующей аппроксимацией на каждом скользящем интервале полиномом произвольной степени . Так как пространство аппроксимирующих функций (2) ограничено условием , то на основе выражения (10) можно получить частные случаи при , и [9].
В случае, когда , выражение (10) запишется в следующем виде:
(11)
При выражение (10) имеет вид: