Курсовая работа: Метод кусочного размножения оценок при обработке реализаций сигналов ограниченного объема

1. Обработка реализаций сигналов ограниченного объема

Существующие методы обработки широко применяются при решении прикладных задач в системах телекоммуникаций, метрологии, статистической обработки. Как правило, их использование определяется начальными условиями: модель взаимодействия полезной и шумовой составляющей; ограничения, накладываемые на компоненты модели обрабатываемого сигнала. Разнообразие методов обработки составляет разнообразие начальных условий, на которых они определены. Начальные условия большинства методов обработки пересекаются и, при решении конкретной задачи, существует возможность использования нескольких различных подходов к получению оценок полезного сигнала. Во многом это связано с тем, что при определении ряда начальных условий накладываются не жесткие ограничения, что образует ряд альтернативных подходов к обработке. В данных ситуациях необходимо решать задачу не только обработки сигнала, но и выбора наиболее приемлемого метода оценивания, что является более сложной задачей. К методу обработки предъявляются требования, которые во многих случаях трудно достичь при использовании только одного алгоритма. В общем случае такими требованиями являются: обработка сигналов, описываемых широким классом функций; эффективное подавление шума, который описывается широким классом случайных функций; простота реализации; возможность эффективно обрабатывать реализации различных объемов в условиях априорной неопределенности о составляющих анализируемого процесса.

Несмотря на противоречивость выдвигаемых требований, в ряде последних работ В.И. Марчука, В.Я. Катковника, К.О. Егиазаряна, Я. Астола предложены новые подходы и методы ослабления шумовой составляющей, позволяющие существенно расширить начальные условия обработки и сделать более мягкими ограничения на свойства составляющих математической модели, описывающей исходную реализацию.

В качестве модели обрабатываемого сигнала наиболее часто используется на практике аддитивная модель, которая определяется выражением:

, (1)

где – неслучайный полезный сигнал, – случайные составляющие, действующие на фоне полезного сигнала. Закон распределения каждой составляющей различен.

Математическая модель полезной составляющей в большинстве случаев является многокомпонентной, что осложняет ее анализ и обработку. В общем случае модель полезного сигнала можно представить элементом множества гладких функций , которое определяется следующим образом [4]:

,

где – максимальный порядок производной функции множества .

Во множестве функций можно выделить подмножество гармонических функций [4]:

,

а также часть пространства составляет подпространство полиномиальных функций:

. (2)

Как правило, на практике рассматривают подмножество , ограниченное условием . Принятое ограничение связано с условием гладкости, заключающееся в том, что любую модель из пространства можно приблизить полиномами невысокой степени на интервале [1].

При построении математической модели случайной (шумовой) составляющей (1) выдвигается предположение о том, что составляющие имеют гауссовский закон распределения с нулевым математическим ожиданием [3]. Как и в случае полезного сигнала, шумовую составляющую в общем случае можно представить элементом множества случайных процессов [2]:

.

В случае представления реализации результатов измерения в виде дискретного ряда выражение (1) запишется в виде [8]:

, . (3)

Таким образом, исходная реализация результатов измерений представляет собой ряд , в котором значения получены в равноотстоящие моменты времени, то есть . Для упрощения дальнейшего анализа полученных результатов измерений произведем нормировку значений относительно времени дискретизации . В результате , а выражение (3) представляется в виде суммы отсчетов дискретных рядов – полезного сигнала и шумовой составляющей:

, . (4)

Отсчеты полезного сигнала принадлежат к пространству . Отсчеты аддитивной шумовой составляющей принадлежат случайному процессу пространства .

Исходная последовательность представляет собой реализацию нестационарного случайного сигнала, математическое ожидание которого является функционально зависимым. Сложность обработки таких реализаций заключается в отсутствии априорных данных о функциональной зависимости математического ожидания [5]. Априорно неизвестна функциональная зависимость полезного сигнала , но предполагается, что она относится к пространству функций (2), шумовая составляющая принадлежит к пространству , а плотность ее распределения симметрична относительно математического ожидания. Наряду с априорной информацией о составляющих обрабатываемого сигнала, немаловажным является объем его реализации. В условиях проведения уникальных экспериментов и невозможности получить достаточных объемов реализаций ограничения на объем выборки являются самыми существенными. В условиях ограниченности объема реализации предполагается, что выборка составляет от 30 до 150 значений [2]. Для получения оценки полезной составляющей сигнала необходимо уменьшить дисперсию шумовой составляющей путем осуществления сглаживания.

Таким образом, при таком определении начальных условий использование большинства существующих методов обработки ограниченно. В первую очередь это связано с зависимостью оптимальных значений их параметров обработки от формы полезной составляющей и закона распределения шума [2]. В большинстве случаев при такой постановке задачи производится сглаживание реализации простыми методами: простое скользящее среднее, взвешенное скользящее среднее, медианное сглаживание, экспоненциальное сглаживание и т.д. [1]. Следует отметить, что их использование на выборках ограниченного объема обладает существенными недостатками [3]. Решение задачи выделения полезной составляющей осуществляется методом наименьших квадратов с использованием наиболее подходящей аппроксимирующей функции в смысле определенного критерия. При этом оптимальный выбор аппроксимирующей функции крайне затруднителен в условиях априорной неопределенности. В работах Дж. Бендата и А. Пирсона, С.М. Переверткина и ряда других указывается на то, что наилучшее оценивание полезного сигнала достигается, когда исходный сигнал представлен ансамблем реализаций, а оценка полезного сигнала осуществляется путем их усреднения по сечениям. В связи с этим предлагается использовать метод выделения полезного сигнала (патент № 2257610), основанный на разбиении исходной реализации на перекрывающиеся интервалы одинаковой длины, с последующей оценкой на каждом из них полезного сигнала методом наименьших квадратов с полиномиальной аппроксимирующей функцией. Такой подход позволяет получить множество оценок полезного сигнала в каждом сечении процесса с последующим их усреднением [1].

Согласно выражению (4) исходная выборка представляет собой последовательность отсчетов . Для получения оценки полезной составляющей разбиваем исходную реализацию на перекрывающихся интервалов, как показано на рис. 1. Длина каждого интервала фиксирована и равна априорно заданной величине . Разбиение формируется таким образом, что отсчетов предыдущего интервала содержится в последующем интервале. Данный способ разбиения позволяет сохранить корреляционные связи между отсчетами при последующем получении оценок полезного сигнала. Исходная последовательность с учетом предлагаемого разбиения перепишется в следующем виде , где [9].

Исходный ряд , можно представить в виде матрицы размера :

. (5)

На каждом скользящем интервале производится оценка полезной составляющей (рис. 1). Как показано на рис. 1, полученные оценки группируются (группы оценок обведены овалами). Результирующая оценка получается путем усреднения множества оценок полезного сигнала, полученных в результате аппроксимации. На основе анализа предлагаемого разбиения исходной реализации выделим три участка:

,,.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--