Курсовая работа: Метод Монте Карло и его применение
Глава 3. Вычисление интегралов методом Монте-Карло.
§1. Алгоритмы метода Монте-Карло для решения интегральных уравнений второго рода.
Пусть необходимо вычислить линейный функционал , где
, причём для интегрального оператора K с ядром
выполняется условие, обеспечивающее сходимость ряда Неймана:
. Цепь Маркова
определяется начальной плотностью
и переходной плотностью
; вероятность обрыва цепи в точке
равна
. N – случайный номер последнего состояния. Далее определяется функционал от траектории цепи, математическое ожидание которого равно
. Чаще всего используется так называемая оценка по столкновениям
, где
,
. Если
при
, и
при
, то при некотором дополнительном условии
. Важность достижения малой дисперсии в знакопостоянном случае показывает следующее утверждение: если
и
, где
, то
, а
. Моделируя подходящую цепь Маркова на ЭВМ, получают статистическую оценку линейных функционалов от решения интегрального уравнения второго рода. Это даёт возможность и локальной оценки решения на основе представления:
, где
. Методом Монте-Карло оценка первого собственного значения интегрального оператора осуществляется интерациональным методом на основе соотношения
. Все рассмотренные результаты почти автоматически распространяются на системы линейных алгебраических уравнений вида
. Решение дифференциальных уравнений осуществляется методом Монте-Карло на базе соответствующих интегральных соотношений.
§2. Способ усреднения подынтегральной функции.
В качестве оценки определённого интеграла принимают
,
где n – число испытаний; - возможные значения случайной величины X, распределённой равномерно в интервале интегрирования
, их разыгрывают по формуле
, где
- случайное число.
Дисперсия усредняемой функции равна
,
где ,
. Если точное значение дисперсии вычислить трудно или невозможно, то находят выборочную дисперсию (при n>30)
, или исправленную дисперсию (при n<30)
, где
.
Эти формулы для вычисления дисперсии применяют и при других способах интегрирования, когда усредняемая функция не совпадает с подынтегральной функцией.
В качестве оценки интеграла , где область интегрирования D принадлежит единичному квадрату
,
, принимают
, (*)
где S – площадь области интегрирования; N – число случайных точек , принадлежащих области интегрирования.
Если вычислить площадь S трудно, то в качестве её оценки можно принять ; в этом случае формула (*) имеет вид
,
где n – число испытаний.
В качестве оценки интеграла , где область интегрирования V принадлежит единичному кубу
,
,
, принимают
, где V – объём области интегрирования, N – число случайных точек
, принадлежащих области интегрирования.
Если вычислить объём трудно, то в качестве его оценки можно принять , в этом случае формула (**) имеет вид
, где n – число испытаний.
Задача: найти оценку определённого интеграла
.
Решение. Используем формулу . По условию, a=1, b=3,
. Примем для простоты число испытаний n=10.Тогда оценка
, где возможные значения
разыгрывается по формуле
.