Курсовая работа: Метод Ньютона и его модификации решения систем нелинейных уравнений

Пусть требуется решить систему уравнений

(1)

где— заданные, нелинейные (среди них могут быть и линейные)

вещественнозначные функции п вещественных переменных . Обозначив

, ,

данную систему (2.1) можно записать одним уравнением

(2)

относительно векторной функции F векторного аргумента х. Таким образом, исходную задачу можно рассматривать как зада­чу о нулях нелинейного отображения В этой постановке она является прямым обобщением основной задачи предыдущей главы — задачи построения методов нахождения нулей одномерных нелинейных отображений. Фактически это та же задача, только в пространствах большей размерности. Поэтому можно как заново строить методы ее решения на основе разработанных выше подходов, так и осуществлять формальный перенос выведенных для скалярного случая расчетных формул. В любом случае следует позаботиться о правомочности тех или иных операций над векторными переменными и векторными функциями, а также о сходимости получаемых таким способом итерационных процессов. Часто теоремы сходимости для этих процессов являются тривиальными обобщениями соответствующих результатов, полученных для методов решения скалярных уравнений. Однако не все результаты и не все методы можно перенести со случая п = 1 на случай п ≥2. Например, здесь уже не будут работать методы дихотомии, поскольку множество векторов не упорядочено. В то же время, переход от n = 1 до n ≥ 2 вносит в задачу нахождения нулей нелинейного отображения свою специфику, учет которой приводит к новым методам и к различным модификациям уже имеющихся. В частности, большая вариативность методов решения нелинейных систем связана с разнообразием способов, которыми можно решать линейные алгебраические задачи, возникающие при пошаговой линеаризации данной нелинейной вектор-функции F ( x ).

2) Метод линеаризации.

С наиболее общих позиций метод Ньютона можно рассматривать как итерационный метод, использующий специальную линеаризацию задачи и позволяющий свести решение исходного нелинейного уравнения к решению последовательности линейных уравнений.

Пусть приближение уже получено. Представим функцию в окрестности точки по формуле Тейлора:

. (1.4)

Здесь - некоторая точка, расположенная между и . Заменяя в уравнении функцию главной линейной частью разложений (1.4), получим линейное уравнение:

. (1.5)

Принимая решение уравнения (5) за новое приближение , приходим к формуле (1.3).

1.2. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О СХОДИМОСТИ МЕТОДА НЬЮТОНА.

Теорема 1.

Пусть - простой корень уравнения , в некоторой окрестности которого функция дважды непрерывно дифференцируема. Тогда найдётся такая малая - окрестность корня , что при произвольном выборе начального приближения из этой окрестности итерационная последовательность метода Ньютона не выходит за пределы окрестности и справедлива оценка:

, , (1.6)

где , означающая, что метод сходится с квадратичной скоростью .

Следствием оценки (6) является априорная оценка:

, , (1.7)

в которой .

Так как (по определению простого корня), то в силу непрерывности функции и найдётся - окрестность корня, в которой при некоторых постоянных и выполнены неравенства .

Пусть , где . Подставляя в (1.4), получим равенство:

,

в котором . Вычитая из него равенство (1.2), имеем

.

Тогда, приравняв модули обеих частей этого равенства и используя условия ограниченности и , приходим к неравенству:

,

откуда следует справедливость оценки (1.6).

Таким образом, при выборе начального приближения из достаточно малой окрестности корня метод Ньютона сходится квадратично. Это означает, что на каждой итерации число верных цифр приближения примерно удваивается.

Приведённые в теореме 1 оценки погрешности являются априорными и их использование в практике вычислений для количественной оценки погрешности неэффективно или чаще всего невозможно.

1.3. КРИТЕРИЙ ОКОНЧАНИЯ.

На практике предпочтительнее использование простой апостериорной оценки:

, (1.8)

справедливость которой обосновывается следующим утверждением.

Теорема 2.

Пусть выполнены условия теоремы 1 и . Тогда для всех верна оценка (8).

Из оценки (1.7) следует, что . Поэтому, применяя неравенство (6), получим цепочку неравенств:

,