Курсовая работа: Метод Ньютона и его модификации решения систем нелинейных уравнений

Наличие оценки (1.8) позволяет сформулировать следующий практический критерий окончания итерации метода Ньютона. При заданной точности вычисления нужно вести до тех пор, пока не окажется выполнимым равенство:

. (1.9)

Пример 1.

Используя метод Ньютона, найдём с точностью положительный корень уравнения .

Для имеем . Очевидно, что , т.е. -простой корень. Возьмём начальное приближение и будем выполнять итерации метода Ньютона по формуле:

.

Результаты первых итераций с 10 знаками мантиссы приведены в табл. 1.

Табл. 1

При вычисления следует прекратить, и после округления получим .

Сравнение результатов итераций со значением показывает, что приближения содержат 1, 3, 6 верных значащих цифр соответственно. Это подтверждает отмеченный ранее факт, что при каждой итерации метода Ньютона число верных значащих цифр примерно удваивается.

Пример 2.

Используя метод Ньютона, укажем итерационный процесс вычисления , где , - натуральное число.

По определению, - это неотрицательная величина, удовлетворяющая равенству . Таким образом, задача сводится к вычислению положительного корня уравнения , где . Итерационная формула метода Ньютона имеет вид:

. (1.10)

2. МЕТОД НЬЮТОНА И ЕГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

2.1. ОПИСАНИЕ МЕТОДА.

Обобщим метод Ньютона, изложенный в пункте 1 для решения одного нелинейного уравнения, на решение систем нелинейных уравнений. При этом будем исходить из трактовки метода Ньютона как метода линеаризации.

Предположим, что исходя из начального приближения к решению построены приближения . Заменим в системе

(*)

каждую из функций линейной частью её разложения по формуле Тейлора в точке :

.

В результате придём к системе линейных алгебраических уравнений:

,

,

. . . . . . . . . . . . . . .

,

имеющей в матричной форме записи вид:

. (2.1)

Здесь - матрица Якоби. .

Предположим, что матрица невырожденная, т.е. существует обратная матрица . Тогда система (2.1) имеет единственное решение, которое принимается за очередное приближение к решению . Таким образом, приближение удовлетворяет равенству:

, (2.2)

выражая из которого , выводим итерационную формулу метода Ньютона:

. (2.3)

Замечание.

Формула (2.3) предполагает использование трудоёмкой операции обращения матрицы, поэтому непосредственное её использование для вычисления в большинстве случаев нецелесообразно. Обычно вместо этого решают эквивалентную системе (2.2) систему линейных алгебраических уравнений:

(2.4)

относительно поправки . Затем полагают:

(2.5)

2.2. СХОДИМОСТЬ МЕТОДА.

Сформулируем основную теорему о сходимости метода Ньютона.

Теорема 3.

Пусть в некоторой окрестности решения системы (*) функции дважды непрерывно дифференцируемы и матрица невырождена. Тогда найдётся такая малая - окрестность решения , что при произвольном выборе начального приближения из этой окрестности итерационная последовательность метода Ньютона не выходит за пределы окрестности и справедлива оценка:

, .

Эта оценка означает, что метод сходится с квадратичной скоростью.

Квадратичная скорость сходимости метода Ньютона позволяет использовать простой практический критерий окончания:

. (2.6)

Пример 3.

Используя метод Ньютона, найдём с точностью решение , системы .