Курсовая работа: Методы решения алгебраических уравнений

Вычисления с помощью метода Гаусса заключаются в последовательном исключении неизвестных из системы для преобразования ее к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей. Вычисления значений неизвестных производят на этапе обратного хода.

Схема единственного деления. Рассмотрим сначала простейший вариант метода Гаусса, называемый схемой единственного деления.

Прямой ход состоит из n- 1 шагов исключения.

1-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного x1 из уравнений с номерами i = 2, 3, …, n. Предположим, что коэффициент a11 ¹ 0. Будем называть его главным элементом 1-го шага.

Найдем величины

qi1 = ai1/a11 (i = 2, 3, …, n),

называемые множителями 1-го шага. Вычтем последовательно из второго, третьего, …, n-го уравнений системы первое уравнение, умноженное соответственно на q21, q31, …, qn1. Это позволит обратить в ноль коэффициенты при x1 во всех уравнениях, кроме первого. В результате получим эквивалентную систему

a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1 ,

a22(1)x2 + a23(1)x3 + … + a2n(1)xn = b2(1) ,

a32(1)x2 + a33(1)x3 + … + a3n(1)xn = b3(1) ,

an2(1)x2 + an3(1)x3 + … + ann(1)xn = bn(1).

в которой aij(1) и bij(1) вычисляются по формулам

aij(1) = aij − qi1a1j , bi(1) = bi − qi1b1.

2-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного x2 из уравнений с номерами i = 3, 4, …, n. Пусть a22(1) ≠ 0, где a22(1) – коэффициент, называемый главным (или ведущим) элементом 2-го шага. Вычислим множители 2-го шага

qi2 = ai2(1) / a22(1) (i = 3, 4, …, n)

и вычтем последовательно из третьего, четвертого, …, n-го уравнения системы второе уравнение, умноженное соответственно на q32, q42, …, qm2. В результате получим систему

a11x1 + a12x2 + a13x3 +… + a1nxn= b1,

a22(1)x2 + a23(1)x3 +… + a2n(1) = b2(1),

a33(2)x3 +… + a3n(2)xn = b3(2),

an3(2)x3 +… + ann(2)xn = bn(2).

Здесь коэффициенты aij(2) и bij(2) вычисляются по формулам

aij(2) = aij(1) – qi2a2j(1) , bi(2) = bi(1) – qi2b2(1).

Аналогично проводятся остальные шаги. Опишем очередной k-й шаг.

k-й шаг. В предположении, что главный (ведущий) элемент k-го шага akk(k–1) отличен от нуля, вычислим множители k-го шага

qik = aik(k–1) / akk(k–1) (i = k + 1, …, n)

и вычтем последовательно из (k + 1)-го, …, n-го уравнений полученной на предыдущем шаге системы k-e уравнение, умноженное соответственно на

qk+1,k, qk+2,k, …, qnk.

После (n - 1)-го шага исключения получим систему уравнений

a11x1 +a12x2 +a13x3 +… +a1nxn =b1,