Курсовая работа: Методы решения алгебраических уравнений
Применяемый на его основе способ аппроксимации получил название метода наименьших квадратов.
Выбор критерия согласия позволяет строить методы, позволяющие однозначно определять параметры аппроксимирующей функции (если задан ее вид).
Полином Лагранжа.
Пусть Функция F(x) задана табл. 4.1. Построим многочлен Ln (x), степень которого не выше, чем n, и для которого выполнены условия интерполяции
Ln(x0)=y0, Ln(x1)=y1,…, Ln(xn)=yn. (4.6)
Будем искать Ln (x) в виде
Ln (x),=l0(x)+l1(x)+…+ln(x), (4.7)
где l1(x) – многочлен степени n, причем
l1(xл)=
(4.8)
Очевидно, что требование (4.8) с учетом (4.7) вполне обеспечивает выполнение условий (4.6).
Многочлены l1(x)составим следующим образом:
l1(x)=Сi(x - x0)(x - x1)
(xi - xi-1)(xi – xi=1) (xi – xn) (4.9)
где Ci – коэффициент, значение которого найдем из первой части условия (4.8):
Сi =
(заметим, что ни один множитель в знаменателе не равен нулю). Подставим Ci в (4.9) и далее с учетом (4.7) окончательно имеем:
Ln (x)=
(4.10)
Это и есть интерполяционный многочлен Лагранжа. По таблице исходной функции F формула (4.10) позволяет довольно просто составить «внешний вид» многочлена.
Метод наименьших квадратов.
1) На практике часто приходится решать такую задачу. пусть для двух функционально связанных величин x и y известны n пар соответствующих значений (x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn). Требуется в наперед заданной формуле y=f(x, a1, a2,…,am) определить m параметров a1, a2, …,am (m<n) так, чтобы в эту x и y.
Считается (исходя из принципов теории вероятностей), что наилучшими являются те значения a1, a2, …,am, которые обращают в минимум сумму
(т.е. сумму квадратов отклонений значений y, вычисленных по формуле, от заданных), поэтому сам способ и получил название способа наименьших квадратов.
Это условие дает систему m уравнений, из которых определяются a1,a2,…,am:
(1)
(f=1,2,…, m).
На практике заданную формулу y=f (xk,a1, a2, …, am) иногда приходится (в ущерб строгости полученного решения) преобразовывать к такому виду, чтобы систему (1) было проще решать (см. ниже подбор параметров в формулах y=Aecx и y=Axq). Частные случаи: а) y=a0xm-1+…+ am(m+1 параметров a0, a1, …, am;; n>m+1).
Система (1) принимает следующий вид:
(2)
Эта система m+1 уравнений с m+1 неизвестными всегда имеет единственное решение, так как ее определитель отличен от нуля.
 |  |  |  |  |   |  К-во Просмотров: 391
Бесплатно скачать Курсовая работа: Методы решения алгебраических уравнений
|