Курсовая работа: Методы решения алгебраических уравнений

x2 = b21x1 +b23x3 +… +b2,n–1xn–1 +b2nxn+c2 ,

x3 = b31x1 +b32x2 +… +b3,n–1xn–1 +b3nxn+c3 ,

xn = bn1x1 +bn2x2 +bn3x3 +… +bn,n–1xn–1 +cn ,

в которой на главной диагонали матрицы B находятся нулевые элементы. Остальные элементы выражаются по формулам

bij = –aij / aii, ci = bi / aii (i, j = 1, 2, …, n, j ≠ i)

Конечно, для возможности выполнения указанного преобразования необходимо, чтобы диагональные элементы матрицы A были ненулевыми.

Описание метода. Введем нижнюю и верхнюю треугольные матрицы

000…00b12b13…b1n

B 1 =b2100…0B 2 =00b23…b2n

b31b320…0, 000…b3n

bn1bn2bn3…0000…0

Заметим, что B =B 1+B 2 и поэтому решение x исходной системы удовлетворяет равенству

x = B 1x + B 2x + c.

Выберем начальное приближение x (0) = [x1(0), x2(0), …, xn(0)]T. Подставляя его в правую часть равенства при верхней треугольной матрице B 2и вычисляя полученное выражение, находим первое приближение

x (1) = B 1x (0) + B 2x (1)

Подставляя приближение x (1), получим

x (2) = B 1x (1) + B 2x (2)

Продолжая этот процесс далее, получим последовательность x (0), x (1), …, x (n), … приближений к вычисляемых по формуле

x (k+1) = B 1(k+1) + B 2(k) + c

или в развернутой форме записи

x1(k+1) =b12x2(k) +b13x2(k) +… +b1nxn(k) +c1 ,

x2(k+1) =b21x1(k+1) +b23x3(k) + … +b2nxn(k) +c2 ,

x3(k+1) =b31x1(k+1) +b32x2(k+1) +… +b3nxn(k) +c3 ,

xn(k+1) =bn1x1(k+1) +bn2x2(k+1) +bn3x3(k+1) +… +cn.

Объединив приведение системы к виду, удобному для итераций и метод Зейделя в одну формулу, получим

xi(k+1) = xi(k) – aii–1(∑j=1i–1 aijxj(k+1) + ∑j=1naijxi(k) – bi).

Тогда достаточным условием сходимости метода Зейделя будет

∑j=1, j≠in | aij| < | aii|

(условие доминирования диагонали).