Курсовая работа: Моделирование SH-волны
и не зависит ни от частоты, ни от угла падения. Фазово-частотный коэффициент отражения как аргумент дроби с комплексно-сопряженными числителем и знаменателем, равен:
.
Действительная realA и мнимая imageA части спектрального коэффициента отражения (СКО) равны:
,
где
.
Используя формулы косинуса и синуса двойного угла (
), получим выражения для действительной и мнимой частей СКО в виде:
;
.
Действительная часть СКО не зависит от частоты, а зависимость мнимой части от нее задается множителем в виде знаковой функции частоты. Обе части СКО являются функциями угла падения. Спектральная характеристика отражения обладает всеми свойствами устойчивой линейной системы - четными амплитудно-частотной характеристикой (модулем СКО) и действительной части СКО, и нечетными фазово-частотной характеристикой (аргументом СКО) и мнимой частью СКО. При этом, четность обеспечивается отсутствием зависимости 
и realA от частоты, а нечетность 
и imageA- множителем в виде знаковой функции sgn (ω). Таким образом, комплексный спектральный коэффициент отражения может быть записан в виде:
.
Спектр отраженной волны разделяется на два слагаемых:
.
В первом слагаемом присутствует спектр первичной волны с амплитудным множителем (весом) ReA (α), независимым от частоты и меняющимся с увеличением угла падения.
Во втором слагаемом - произведение двух частотно-зависимых функций - знаковой 
и комплексного спектра первичной волны u (jf) - с амплитудным множителем ImA (α), также изменяющимся с увеличением угла падения.
Так как преобразование Фурье - линейная операция, сам отраженный сигнал также является взвешенной суммой Фурье-трансформант слагаемых своего спектра:
.
Здесь 
- результат обратного Фурье-преобразования знаковой функции частоты sgn (f), u (t) 
u (jf), а произведение спектров заменено сверткой Фурье-трансформант сомножителей в соответствии со спектральной теоремой свертывания функций.
В теории спектров рассматривалась знаковая функция времени sgn (t) и ее спектр:
.
Аналогично определяется обратное Фурье-преобразование знаковой функции частоты:
.
Здесь появился знак минус как следствие противоположных знаков ядер прямого (
) и обратного (
) преобразований Фурье.
Тогда отраженный сигнал может быть описан выражением:
.
Сокращая мнимую единицу и раскрывая символьную запись свертки, получим описание отраженного сигнала при углах падения, превышающих критический угол:
.
В скобках записано обратное Гильберт-преобразование функции u (t), описывающей первичную волну: