Курсовая работа: Моделирование SH-волны

Таким образом, отраженный сигнал за критическим углом падения представляется взвешенной суммой падающего сигнала u (t) и его Гильберт-трансформанты :

.

Веса слагаемых - ReA (α) и ImA (α) - изменяются при увеличении угла падения. Соответственно, изменяется по форме и суммарный отраженный сигнал .

Проведем анализ зависимости от угла падения α весовых множителей ReA (α) и ImA (α) и структуры суммарной отраженной волны при изменении α от критического угла до теоретически возможного предела 90°. Как отмечалось, при α = А () = 1 = ReA (), ImA () = 0. Отраженная волна имеет те ж форму и амплитуду, что и падающая волна: = .

Как только угол падения превысит критический угол, ReA (α) стремительно уменьшается, а мнимая часть ImA (α) столь же быстро возрастает. Доля первичного сигнала в суммарной отраженной волне быстро уменьшается, и так же быстро растет доля Гильберт-трансформанты падающей волны. При некотором угле падения действительная часть спадает до 0, а мнимая - возрастает до 1:

при α = ReA () = 0; ImA () = 1.

Отраженный сигнал представлен только Гильберт-трансформантой первичной волны: . Угол находится из условия ReA () = 0:

.

Синус его равен:

и не намного превышает , то есть не намного больше .

Дальнейшее увеличение угла падения (α > ) приводит к перемене знака действительной части и к соответствующему инвертированию знака смещения первичной волны в суммарном отраженном сигнале.

В пределе, при : ReA; ImA и .

С увеличением угла падения при доля падающей волны с инвертированным знаком смещения в суммарной волне растет, а доля Гильберт-трансформанты уменьшается в пределе, при α = 90°, до 0.

При этом отраженный сигнал повторяет по форме и амплитуде колебаний падающую волну с инвертированным знаком смещений. Напомним, что такой же предел был выявлен и в случае (см. раздел 8.3), что вполне естественно.

Анализ закритических изменений спектрального коэффициента прохождения В и вызванных ими трансформаций неоднородных плоских волн фактически не нужен, так как имеется связь между коэффициентами рассеивания SH-волны: В = 1 + А, справедливая при любых углах падения.

Для комплексных коэффициентов рассеивания А = ReA + jImA; B = ReB + jImB имеем:

ReB + jImB = 1 + ReA + jImA.

Видно, что А и В имеют действительные части, различающиеся на единицу, и равные мнимые части:

ReB = 1 + ReA; ImB = ImA.

Напомним, что связь между А и В получена из первого граничного условия (для упругих смещений):

.

В соответствии с ним, при любых соотношениях физических свойств контактирующих на границе сред и при любом угле падения первичной SH-волны при z = 0 проходящая волна представляет собой простую сумму падающей волны u (τ) и отраженной волны .

Поэтому все трансформации отраженной волны в закритической зоне входят составной частью в изменения проходящей волны.

Вне зависимости от угла падения в этой волне всегда присутствует “постоянная" составляющая - первичная, падающая на границу волна, по предположению, не меняющаяся с изменением угла падения.

В заключение приведем цифровые оценки особых углов падения для границы раздела сред со следующими упругими параметрами:

.

Это - довольно “сильная” отражающая граница.

Ей может соответствовать, например, граница между обводненной верхней средой (где скорость S-волны резко уменьшена) и “сухим” нижним полупространством.