Курсовая работа: Научно-исследовательская работа школьников в РБ
f 1 (an ) f 2 (an ) =1.
Рассмотрим первое из этих равенств. Оно возможно для целого a 1 и многочленов f 1 (x ), f 2 (x ) с целыми коэффициентами только если f 1 (a 1 ) =f 2 (a 1 ) =1 или f 1 (a 1 ) =f 2 (a 1 ) =-1. Аналогично и для остальных равенств. Пусть в i случаях будет 1, в j будет - 1. Тогда i +j =n .
Покажем, что n - четное и i = j =
. Допустим, что i > (т.е. j =n -i <). Тогда многочлены f 1 (x ) - 1 и f 2 (x ) - 1 имеют не менее i корней, а, следовательно, их степень больше . Поэтому и степени многочленов f 1 (x ) и f 2 (x ) соответственно больше . Таким образом степень f 1 (x ) f 2 (x ) = m (x -a 1 ) … (x -an ) +1 больше n . Противоречие показывает, что допущенное не верно. Аналогично, j не больше .
Два числа не превосходящие в сумме дают n . Значит, i = j = и n - четное число. При этом степени f 1 (x ) и f 2 (x ) также равны i =, иначе, рассуждая как и выше, получим противоречие.
Не ограничивая общности, можно считать, что f 1 (a 1 ) =…=f 1 (ai ) =1, f 1 (ai +1 ) =…=f 1 (an ) =-1. (При перестановке местами a k и a l условие задачи не изменится, поэтому можно считать, что изначально их порядок такой, что f 1 (x ) обращается в 1 в первых i ). Тогда f 1 (x ) = t 1 × (x -a 1 ) … … (x -ai ) +1 = t 2 × (x -ai +1 ) … (x -an ) -1. Аналогично, f 2 (x ) = d 1 × (x -a 1 ) … (x -ai ) +1 = d 2 × (x -ai +1 ) … (x -an ) -1.
Рассмотрим равенства
m (x -a 1 ) … (x -an ) +1 = f 1 (x ) f 2 (x ) = (t 1 × (x -a 1 ) … (x -ai ) +1) × (d 1 × (x -a 1 ) … (x -ai ) +1);
m (x -a 1 ) … (x -an ) +1 = f 1 (x ) f 2 (x ) = (t 1 × (x -a 1 ) … (x -ai ) +1) × (d 2 × (x -ai +1 ) … (x -an ) -1).
Приравнивая коэффициенты при старшей степени (xn ) левой и правой части, получаем m = t 1 d 1 и m = t 1 d 2 . Отсюда d 1 = d 2 . Аналогично получаем, что t 1 = t 2 . Таким образом, получаем, что m = t ×d для некоторых целых t и d , причем:
f 1 (x ) = t × (x -a 1 ) … (x -ai ) +1 = t × (x -ai +1 ) … (x -an ) -1
f 2 (x ) = d × (x -a 1 ) … (x -ai ) +1 = d × (x -ai +1 ) … (x -an ) -1.
Вычтем из первого равенства второе
t × (x -a 1 ) … (x -ai ) - d × (x -a 1 ) … (x -ai ) = t × (x -ai +1 ) … (x -an ) - d × (x -ai +1 ) … (x -an ),
откуда, преобразовывая, получим
t × ( (x -a 1 ) … (x -ai ) - (x -a<