Курсовая работа: О сверхразрешимости некоторых классов факторизуемых групп
и 
.
Пусть 
--- произвольная минимальная нормальная подгруппа группы 
. Так как класс всех сверхразрешимых групп образует насыщенную формацию, то 
--- единственная минимальная нормальная подгруппа в , причем 
. Пусть 
--- максимальная подгруппа в такая, что 
и пусть 
. Тогда по тождеству Дедекинда мы имеем 
. Так как ввиду (3), абелева, то 
и 
. Это показывает, что 
. Следовательно, 
--- сверхразрешимая группа и ввиду леммы . Согласно (2) и выбора группы , мы имеем 
(5) 
--- наибольший простой делитель порядка группы .
Предположим, что не является наибольшим простым делителем порядка группы , и пусть 
--- наибольший простой делитель 
. Пусть 
и 
--- такие максимальные подгруппы группы , что 
, 
. Тогда 
. По лемме, и не сопряжены в . Так как ввиду леммы все максимальные подгруппы группы , которые не содержат , сопряжены в , то либо 
содержит , либо содержит . Пусть, например, 
и пусть 
--- силовская -подгруппа группы . Предположим, что 
. Согласно (2), 
сверхразрешима и поскольку 
максимальная подгруппа группы , то по лемме 
--- простое число. Значит, содержит неединичную силовскую -подгруппу 
. Согласно лемме , 
, и поэтому 
. Это противоречие показывает, что 
. Ясно, что 
. Тогда 
. Предположим, что 
и пусть 
--- максимальная подгруппа группы , содержащая 
. Ввиду (1), сверхразрешима. Без ограничения общности, мы можем предположить, что 
. Так как группа 
сверхразрешима, то 
, и поэтому 
, что невозможно в силу (4). Значит, 
. Следовательно, по тождеству Дедекинда мы имеем
и поэтому 
. Пусть 
, где 
. Предположим, что 
. Тогда 
, и очевидно 
. Это влечет 
. Следовательно, 
. Ясно, что 
, и поэтому 
. Пусть 
--- максимальная подгруппа группы . Тогда для некоторого 
, мы имеем 
. Так как не является сверхразрешимой группой, то ввиду (4) мы видим, что 
. Но поскольку 
, то приходим к противоречию. Следовательно, 
. Пусть 
--- силовская -подгруппа группы 
и для некоторого , 
. Предположим, что 
. Пусть 
--- максимальная подгруппа группы , содержащая 
. Согласно (1), сверхразрешима. Это влечет 
, противоречие. Следовательно, 
. Предположим теперь, что 
. В этом случае 
, и поэтому каждая силовская 
-подгруппа группы 
является силовской -подгруппой группы . Следовательно, 
. Это противоречие показывает, что 
, и поэтому 
--- максимальная подгруппа группы . Согласно лемме , мы имеем 
, для некоторого 
. Это противоречие показывает, что --- наибольший простой делитель порядка группы .
(6) --- силовская -подгруппа группы .
Предположим, что это не верно. Тогда 
. Отсюда следует, что 
, и поэтому ввиду (5) и леммы , 
, что невозможно в силу (4). Значит, --- силовская -подгруппа группы .
(7) Заключительное противоречие.
Без ограничения общности мы можем предположить, что 
. Так как 
сверхразрешима, то ввиду (5), имеет нормальную подгруппу 
порядка . Согласно (6), 
Пусть 
--- холлова 
-подгруппа группы 
и для некоторого 
, 
. Поскольку
то 
. Согласно (6), силовская -подгруппа группы содержится в 
Тогда 
и поэтому 
что невозможно в силу (4). Это противоречие завершает доказательство теоремы.
Пусть --- группа и 
--- ее подгруппа Фиттинга. Тогда является сверхразрешимой в том и только том случае, когда 
, где и --- нильпотентные подгруппы группы и имеет такой главный ряд
что каждая 
-перестановочна с каждой подгруппой группы , для всех 
.
Доказательство. Необходимость. Предположим, что --- сверхразрешимая группа. Тогда согласно лемме , 
. Пусть 
и --- такая подгруппа группы , что и 
для каждой собственной подгруппы 
группы . Тогда 
. Так как подгруппы 
и 
нильпотентны, то 
--- нильпотентная подгруппа. Рассмотрим главный ряд группы , проходящий через 
Поскольку 
--- простое число для каждого 
, то этот ряд является главным рядом группы и каждая подгруппа 
перестановочна со всеми подгруппами группы для каждого .
Достаточность. Предположим теперь, что 
, где 
--- нильпотентные подгруппы группы и группа 
имеет такой главный ряд
что каждый член этого ряда -перестановочен с каждой подгруппой группы 
. Покажем, что сверхразрешима. Предположим, что не является сверхразрешимой группой, и пусть --- контрпример минимального порядка. Без ограничения общности мы может предположить, что 
и 
для каждой собственной подгруппы 
группы . Для начала заметим, что поскольку группа является произведением двух нильпотентных подгрупп, то по известной теореме Кегеля , группа