Курсовая работа: Открытые сети с многорежимными стратегиями обслуживания и информационными сигналами

Сравнивая полученный результат с (4.1.14), делаем вывод, что для любого состояния . Докажем, что при выполнении условий (4.1.7) марковский процесс эргодичен. Согласно эргодической теореме Фостера [82], для этого достаточно доказать, что существует нетривиальное неотрицательное решение уравнений глобального равновесия

такое, что ряд сходится. Складывая (4.1.16) по всем , убеждаемся, что является решением (4.1.24). Из (4.1.14) следует, что

Поскольку ряд

распадается в произведение рядов, каждый из которых сходится в силу условия (4.1.7) как сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем, меньшим единицы, то и сам он сходится. В силу (4.1.25) будет сходиться ряд

По эргодической теореме Фостера это означает, что марковский процесс эргодичен. Таким образом, теорема доказана полностью.

Замечание 4.1 . Если условия (4.1.3) и (4.1.7) выполнены во всех узлах, то получается простой алгоритм для нахождения стационарных вероятностей:

1. Проверяется выполнение условий (4.1.3).

2. Решается система нелинейных уравнений (4.1.1)-(4.1.2).

3. Проверяется выполнение (4.1.7).

4. Определяются с помощью соотношений (4.1.6).

5. Находится стационарное распределение состояний сети с помощью формулы (4.1.15).

Этот алгоритм может быть дополнен алгоритмом расчета совместного стационарного распределения чисел заявок в узлах и совместного стационарного распределения номеров режимов работы узлов, а также расчета моментов этих распределений. Если - состояние сети, где , то через обозначим вектор, характеризующий числа положитнльных заявок в узлах, а через - вектор, характеризующий режимы работы в узлах. Стационарные распределения этих двух векторов обозначим соответственно и .

Нетрудно убедиться, складывая (4.1.15) по всем возможным значениям , что совместное стационарное распределение чисел положительных заявок в узлах имеет следующую форму:

где каждый множитель имеет геометрическое распределение

Производящая функция стационарного распределения числа заявок в -м узле имеет вид

а -й факториальный момент есть

Как и следовало ожидать, в стационарном режиме среднее число положительных заявок и дисперсия числа положительных заявок в каждом узле,