Метод трапеций

Площадь под кривой заменяется суммой площадей трапеций:

или

Нетрудно убедиться, что

Поскольку точность вычислений по приведенным формулам зависит от числа разбиений n исходного отрезка [a; b], то вычислительный процесс целесообразно строить итерационным методом, увеличивая n до тех пор, пока не будет выполнено условие

<

где – значения интеграла на шаге, а – точность вычислений.

Метод Ньютона-Котеса

Заменим подынтегральную функцию f(x) интерполяционным многочленом Лагранжа:

.

Тогда

;

(1)

Так как dx=hdq, то

Так как , то

Окончательно получаем формулу Ньютона-Котеса:

(2)

Величины H_i называют коэффициентами Ньютона-Котеса. Они не зависят от f(x). Их можно вычислить заранее для различного числа узлов n (таблица 1).

Формула Ньютона-Котеса с n узлами точна для полиномов степени не выше n. Для получения большей точности не рекомендуется использовать формулы с большим числом узлов, а лучше разбивать отрезок на подотрезки, к каждому из которых применяется формула с одним и тем же небольшим числом узлов.

Таблица 1. Значения коэффициентов Ньютона-Котеса

H	N
	1	2	3	4
H0	1/2	1/6	1/8	7/90
H1	1/2	2/3	3/8	16/45
H2	-	1/6	3/8	2/15
H3	-	-	1/8	16/45
H4	-	-	-	7/90

Интересно отметить, что из формулы (2) следуют как частные случаи: формула трапеций при n=1

;

формула Симпсона при n=2

;