Курсовая работа: Применение уравнение Лагранжа II рода к исследованию движения механической системы с двумя степенями свободы

2 Возможные перемещения. Число степеней свободы

Определение 2 [1.с. 358] : Возможным перемещением механической системы называется любая совокупность элементарных перемещений точек этой системы из занимаемого в данный момент времени положения, которые допускаются всеми наложенными на систему связями.

Механическая система может иметь множество различных возможных перемещений. Однако для любой из систем можно указать некоторое число таких независимых между собой перемещений, что всякое другое возможное перемещение может быть через них выражено.

Определение 3 [1, с. 359]: Число независимых между собой возможных перемещений механической системы называются числом степеней свободы этой системы.

Следовательно, точка, находящаяся на плоскости, имеет две степени свободы; одновременно ее положение на плоскости определяется двумя независимыми координатами (координатами, каждая из которых может изменяться независимо от другой), например координатами х и у. Свободная материальная точка имеет три степени свободы (независимыми будут три возможных перемещения вдоль трех взаимно перпендикулярных осей); одновременно положение точки определяется тремя независимыми координатами х, у, z.

Этот результат оказывается общим, т.е. у механической системы с геометрическими связями число независимых координат, определяющих положение системы, совпадает с числом ее степеней свободы. Поэтому у такой системы число степеней свободы можно определять как по числу независимых возможных перемещений, так и по числу независимых координат.

3 Обобщенные координаты и обобщенные скорости

Число координат (параметров), определяющих положение механической системы, зависит от количества точек (тел), входящих в систему, и от числа и характера наложенных связей. Будем в дальнейшем рассматривать только системы с геометрическими связями (точнее только голономные системы). У такой системы число независимых координат, определяющих положение системы, совпадает с числом ее степеней свободы. В качестве этих координат можно выбирать параметры, имеющие любую размерность и любой геометрический (или физический) смысл, в частности отрезки прямых или дуг, углы, площади и т.д.

Определение 4 [1, с. 369]: Независимые между собой параметры любой размерности, число которых равно числу степеней свободы системы и которые однозначно определяют ее положение, называются обобщенными координатами системы. Будем обозначать обобщенные координаты буквой q. Тогда положение системы, имеющей s степеней свободы, будет определяться s обобщенными координатами

Определение 5 [1, с. 370]: Производные от обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями системы.

4 Обобщенные силы

Рассмотрим механическую систему из n механических точек ,,…,, находящуюся под действием системы сил ,,…,.

Предположим, что система имеет s степеней свободы, т.е. положение определяется s обобщенными координатами .

При наличии нестационарных связей радиус-вектор является функцией обобщенных координат и времени:

,) (i = 1,2,…, n).

Сообщим элементарное приращение только одной координате , оставляя неизменными все остальные обобщенные координаты.

Тогда радиус-вектор точки М получит приращение , обусловленное приращением этой координаты:

=.

Вычислим работу всех сил, действующих на механическую систему на перемещения точек , вызванных перемещением координаты :

= = ==

Разделив на элементарное приращение обобщенной координаты , получим величину , называемую обобщенной силой:

= (1)

Определение 6 [2, с. 320] : Обобщенной силой , соответствующей обобщенной координате , называется скалярная величина, определяемая отношением элементарной работы действующих сил на перемещение механической системы, вызванном элементарным приращением координаты , к величине этого приращения.

В случае сил, имеющих потенциал, обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате , равна взятой со знаком минус частной производной от потенциальной энергии механической системы по этой координате.

= (j =1, 2, …, s).

5 Уравнения Лагранжа второго рода