Курсовая работа: Программа для решения дифференциальных уравнений первого порядка методом Рунге-Кутта

и начальное условие его решения:

у'(х₀ ) = у_0. .

Тогда решить уравнение — это значит найти такую функцию у — φ(х), которая, будучи подставленной, в исходное уравнение, обратит его в тождество и одновременно будет удовлетворено начальное условие. Задача отыскания функции у = φ (х) называется в математике задачей Коши. При решении дифференциального уравнения порядка nзадача Коши формулируется следующим образом.

Дано дифференциальное уравнение порядка n:

у^{( n )} = f(x, y, у'^’ ,…,y^{n -1} )

Необходимо найти такую функцию у = φ (х), которая, будучи подставленной в исходное уравнение, обратит его в тождество и одновременно будут удовлетворены следующие п начальных условий:

у(х₀ ) = у₀

у'(х₀ ) = у'₀

. . .

у^{n -1} (х₀ ) = у^{n -1} ₀

4.1 Метод Рунге-Кутта

Метод Рунге-Кутта обладает более высокой точностью, чем методы Эйлера за счет снижения методических ошибок. Идея метода состоит в следующем.

По методу Эйлера решение дифференциального уравнения первого порядка определяется из соотношения:

y_{i +1} = y_i + Δy_i ;

где Δy_i = hf (х_i , y_i ) = hу' (х_i , y_i ).

Тогда приращение Δ y_i , может быть найдено путем интегрирования:

Или окончательно

Вычислим теперь интеграл по методу прямоугольников:

y_i+1 = y_i + (x_i+1 - x_i )f(x_i , y_i ) = y_i + hf(x_i , y_i ).

Из полученного выражения видно, что вычисление интеграла по методу прямоугольников приводит к формуле Эйлера.

Вычислим интеграл по формуле трапеций:

y_i+1 = y_i +0,5h(f(x_i , y_i )+ f(x_i+1 , y_i+1 ))

Из выражения видно, что оно совпадает с расчетной формулой усовершенствованного метода Эйлера-Коши. Для получения более точного решения дифференциального уравнения следует воспользоваться более точными методами вычисления интеграла. В методе Рунге-Кутта искомый интеграл представляется в виде следующей конечной суммы:

где Pi— некоторые числа, зависящие от q; K_i (h) — функции, зависящие от вида подынтегральной функции f(x,y) и шага интегрирования h, вычисляемые по следующим формулам:

K₁ (h) = hf(x, y);

K₂ (h) = hf(x + a₂ h, y + β₂₁ K₁ (h));