Курсовая работа: Программа для решения дифференциальных уравнений первого порядка методом Рунге-Кутта

K_n (h) = hf(x + a_qh, , y + β _q1 K₁ (h) + ... + β_{q , q -1} K_{q -1} (h)).

Значения p, α, β получают из соображений высокой точности вычислений. Формулы Рунге-Кутта третьего порядка (q= 3) имеют следующий вид:

K₁ =hf(x_i , y_i );

K₂ =hf(x_i + 0,5h, yi+0,5 K₁ );

K₃ =hf(x_i +h, y_i +K₁ +2K₂ ).

Наиболее часто используется метод Рунге-Кутта четвертого порядка, для которого расчетные формулы имеют следующий вид:

K₁ =hf(x_i , y_i );

K₂ =hf(x_i + 0,5h, yi+0,5 K₁ );

K₃ =hf(x_i +0,5h, y_i +0,5K₂ ).

K₃ =hf(x_i +h, y_i +K₃ ).

Формулы Рунге-Кутта имеют погрешности порядка h^{q +1} . Погрешность метода Рунге-Кутта четвертого порядка имеет порядок h⁵

4.2 Описание программы ” РЕШЕНИЕ ОДУ “

Программа ”Решение ОДУ“ достаточно проста в использовании.

При запуске программы открывается главное окно программы (рис. 4 ), с установленными по умолчанию начальными условиями в полях ввода.

Назначение элементов ввода данных.

1. Поля X 1, X 2, Y ( x 1), H предназначены для ввода начального и конечного значений отрезка, на котором ищется решение дифференциального уравнения, значения функции при аргументе равном Х1 и величины шага дифференцирования;

2. В поле dY выводится формула дифференциального уравнения 1-й степени, выбранная для решения;

3. В поле dY ( x 1, y 1) выводится значение производной в исходной точке.

Рис.4

Назначение элементов управления и контроля.

1. При нажатии кнопки EXAMPLE активируются “радиокнопки” выбора уравнений;

2. Щелчком “радиокнопки” выбирается соответствующее ей уравнение, вид формулы контролируется по её отображению в поле dY ;

3. Щелчком по кнопке ВЫЧИСЛИТЬ находятся приближенные решения выбранного дифференциального уравнения на заданном интервале;

4. Решения дифференциального уравнения в виде пар значений X - Y выводятся в поля X и Y ; (рис. 5.)

По окончании вычислений активируются кнопка ГРАФИК и пункт меню ГРАФИК главного окна системы.