Курсовая работа: Произведение двух групп
Исполнитель:
студентка группы H.01.01.01 М-31
Закревская С.А.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры Алгебры и геометрии
Монахов В. С.
Гомель 2005
Содержание
Введение
1 О произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса
2 О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2
3 Произведение разрешимой и циклической групп
3.1. Вспомогательные результаты
3.2. Доказательства теорем 1 и 2
Заключение
Список литературы
Введение
Данную работу можно рассматривать как продолжение трудов Б. Хупперта и В. Скотта. В ней приводятся свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, а именно являющихся произведением двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса , произведением двух групп с циклическими подгруппами индекса 2, произведением разрешимой и циклической групп.
Рассматриваются вопросы разрешимости, сверхразрешимости и изоморфизма конечных групп, с приведенными выше свойствами и приводится описание двух классов неразрешимых факторизуемых групп. Так же приводятся доказательства следующих теорем:
Теорема 1.1 . Если и
- группы с циклическими подгруппами индексов
, то конечная группа
разрешима.
Теорема 1.2 . Пусть - группа Шмидта, а
- группа с циклической подгруппой индекса
. Если
и
- конечная неразрешимая группа, то
изоморфна подгруппе
, содержащей
, для подходящего
.
Теорема 1.3 . Пусть - 2-разложимая группа, а группа
имеет циклическую инвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 4. Если
и
- конечная неразрешимая группа, то
изоморфна подгруппе
, содержащей
, для подходящего
.
Теорема 2.1 . Пусть конечная группа , где
и
- группы с циклическими подгруппами индексов
. Тогда
разрешима,
и
для любого простого нечетного
.
Теорема 2.2 . Если группы и
содержат циклические подгруппы нечетных порядков и индексов
, то конечная группа
сверхразрешима.
Теорема 2.3 . Пусть конечная группа , где
- циклическая подгруппа нечетного порядка, а подгруппа
содержит циклическую подгруппу индекса
. Если в
нет нормальных секций, изоморфных
, то
сверхразрешима.
Теорема 3.1 . Пусть конечная группа является произведением разрешимой подгруппы
и циклической подгруппы
и пусть
. Тогда
, где
- нормальная в
подгруппа,
и
или
для подходящего
.
Теорема 3.2 . Конечная группа, являющаяся произведением 2-нильпотентной подгруппы и циклической подгруппы, непроста. Если циклический фактор имеет нечетный порядок, то группа разрешима.
Теорема 3.3 . Если - простая группа, где
- холловская собственная в
подгруппа, а
- абелева
-группа, то
есть расширение группы, изоморфной секции из
, с помощью элементарной абелевой 2-группы. В частности, если
циклическая, то
есть расширение абелевой группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.
1. О произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса
Доказывается, что конечная группа разрешима, если группы
и
содержат циклические подгруппы индексов
. Приводится описание двух классов неразрешимых факторизуемых групп. Библ. 18 назв.
В работе Б. Хупперт установил разрешимость конечной группы, которая является произведением двух диэдральных подгрупп. В. Скотт получил разрешимость группы , допустив в качестве множителей
и
еще так называемые дициклические группы. Диэдральные и дициклические группы содержат циклические подгруппы индекса 2, но не исчерпывают весь класс групп с циклическими подгруппами индекса 2. В настоящей заметке доказана
Теорема 1 . Если и
- группы с циклическими подгруппами индексов
, то конечная группа
разрешима.
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--