Курсовая работа: Произведение двух групп

Предположим, что порядки групп и делятся одновременно на нечетное простое число и пусть и - силовские -подгруппы из и соответственно. Так как инвариантна в , a инвариантна в , то и - силовская -подгруппа в . Без ограничения общности можно считать, что . По теореме VI.10.1 из группа содержит неединичную подгруппу , инвариантную в . Но теперь и , а так как инвариантна в , a разрешима, то по лемме С. А. Чунихина. Противоречие. Следовательно, порядки и не имеют общих нечетных делителей. В частности, в группе силовские подгруппы для нечетных простых чисел циклические.

Пусть - минимальная инвариантная в подгруппа и - силовская 2-подгруппа из , которая содержится в . Так как , то неразрешима и . Подгруппа даже простая потому, что силовские подгруппы по нечетным простым числам циклические.

Пусть вначале . Тогда и неабелева. По теореме П. Фонга из группа диэдральная или полудиэдральная. Но в этих случаях . Непосредственно проверяется, что диэдральная и полудиэдральная группа порядка 16 не является произведением двух групп порядка 4.

Предположим теперь что . Тогда - элементарная абелева подгруппа или диэдральная. Если абелева, то или группа Янко порядка 175560. Так как неабелева, то и индекс в четен. Группа разрешима, поэтому и или . Ho группа порядка 3, a . Противоречие. Если - диэдральная группа порядка 8, то - нечетное простое число или . Но группы и не допускают нужной факторизации, поэтому - собственная в подгруппа. Теперь или . Если , то - диэдральная группа порядка 16, а так как , то . Противоречие. Если , то и в существует подгруппа порядка или .

Пусть, наконец, . Тогда и . Так как фактор-группа разрешима по индукции, то и . Используя самоцентрализуемость силовской -подгруппы в , нетрудно показать, что не допускает требуемой факторизации. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 2 . Допустим, что теорема неверна и группа - контрпример минимального порядка. Фактор-группа группы Шмидта есть либо группа Шмидта, либо циклическая -группа. Поэтому в силу индукции и теоремы 1 мы можем считать, что . Пусть - произвольная минимальная инвариантная в подгруппа. Если , то , а так как - нильпотентная группа, то разрешима по теореме Ито--Хупперта или по теореме Виландта--Кегеля. Отсюда разрешима и . Противоречие. Значит, , в частности, разрешима. Допустим, что . Тогда и удовлетворяет условиям леммы. Поэтому изоморфна подгруппе группы , содержащей для подходящего . Так как есть прямое произведение изоморфных простых неабелевых групп, то и . Отсюда . Подгруппа инвариантна в так как , то разрешима и . Теперь изоморфна некоторой группе автоморфизмов , т. е. из заключения теоремы. Противоречие. Значит, .

Таким образом, если - произвольная инвариантная в подгруппа, то .

Пусть , - инвариантная силовская -подгруппа, - силовская -подгруппа. Через обозначим циклическую подгруппу в , для которой . Допустим, что . В этом случае и если - подгруппа индекса 2 в , то - циклическая подгруппа индекса 2 в . По теореме 1 группа разрешима. Противоречие. Значит, . Теперь, если в есть инвариантная подгруппа четного индекса, то есть группа Шмидта с инвариантной силовской 2-подгруппой, что противоречит лемме 1.

Следовательно, и в нет инвариантных подгрупп четного индекса.

Допустим, что , тогда - группа нечетного порядка. Силовская 2-подгруппа из является силовской подгруппой в и по результату В. Д. Мазурова группа диэдральная или полудиэдральная. Если диэдральная, то по теореме 16.3 группа изоморфна или подгруппе группы . Так как не допускает требуемой факторизации, то следует из заключения теоремы. Противоречие. Значит, - полудиэдральная группа. Если - центральная инволюция из , то , поэтому и разрешима. По теореме Мазурова группа изоморфна или . Нетрудно проверить, что