Курсовая работа: Произведение двух групп

Теорема 2 . Пусть - группа Шмидта, а - группа с циклической подгруппой индекса . Если и - конечная неразрешимая группа, то изоморфна подгруппе , содержащей , для подходящего .

обозначает наибольшую разрешимую инвариантную в подгруппу. Группой Шмидта называется ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны.

Теорема 3 . Пусть - 2-разложимая группа, а группа имеет циклическую инвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 4. Если и - конечная неразрешимая группа, то изоморфна подгруппе , содержащей , для подходящего .

Частным случаем теоремы 3, когда - абелева, а имеет порядок , - простое число, является теорема 8 Б. Хупперта.

Доказательства теорем 1--3 и составляют содержание настоящей заметки.

Рассматриваются только конечные группы. Все используемые определения и обозначения стандартны, их можно найти в обзоре С. А. Чунихина и Л. А. Шеметкова.

Вначале докажем несколько лемм.

Лемма 1 . Пусть в группе существует циклическая подгруппа индекса . Тогда каждая подгруппа и фактор-группа обладает, циклической подгруппой индекса . Доказательство осуществляется непосредственной проверкой.

Лемма 2 . Пусть , - собственная подгруппа группы , - подгруппа четного порядка с циклической силовской 2-подгруппой. Если , то содержит подгруппу индекса 2.

Доказательство. Если содержит инвариантную в подгруппу , то фактор-группа удовлетворяет условиям леммы. По индукции обладает подгруппой индекса 2, поэтому и в есть подгруппа индекса 2.

Пусть не содержит инвариантных в подгрупп . Тогда представление группы подстановками правых смежных классов по есть точное степени , где . Группу можно отождествить с ее образом в симметрической группе степени . Так как в силовская 2-подгруппа циклическая, то , где - инвариантное 2-дополнение. Пусть , . , и . Подстановка разлагается в произведение циклов

т. е. подстановка имеет циклов, каждый длины . Декремент подстановки равен и есть нечетное число, поэтому - нечетная подстановка. Теперь , а так как индекс в равен 2, то - подгруппа индекса 2 в группе .

Лемма 2 обобщает лемму А. В. Романовского.

Замечание. Простая группа является произведением двух подгрупп и , причем , а - группа порядка с циклической силовской 2-подгруппой. Этот пример показывает, что требование отбросить нельзя.

Лемма 3 . Пусть - дважды транзитивная группа подстановок на множестве и пусть - стабилизатор некоторой точки . Тогда все инволюции из центра содержатся в .

Доказательство. Пусть . Допустим, что существует , причем . Так как транзитивна на , то . Ho , поэтому и - тождественная подстановка. Противоречие. Следовательно, фиксирует только . Теперь подстановка содержит только один цикл длины 1, а так как - инволюция, то нечетен. Но , поэтому существует силовская 2-подгруппа из с и . Если , то , отсюда и , т. е. . Теперь и из теоремы Глаубермана следует, что .

Лемма 4 . Пусть центр группы имеет четный порядок и силовская 2-подгруппа из либо циклическая, либо инвариантна в . Если - группа с циклической подгруппой индекса , то группа непроста.

Доказательство. Пусть - циклическая подгруппа в , для которой , а - максимальная в подгруппа, содержащая . Тогда . Если , то и по лемме С. А. Чунихина группа непроста. Значит, .

Допустим, что порядок нечетен. Если , то . Если , то ввиду леммы 2 и поэтому опять . Рассмотрим представление подстановками смежных классов по . Так как - максимальная в подгруппа, то - примитивная группа подстановок степени . Если - простое число, то либо разрешима, либо дважды транзитивна. Если - составное число, то, так как - регулярная группа подстановок при этом представлении, - опять дважды транзитивна. Из леммы 3 следует, что непроста.

Пусть порядок четен. Если , то непроста по лемме 2. Значит, и . Пусть - силовская 2-подгруппа из . Если инвариантна в , то инвариантна и в . Следовательно, - циклическая группа. Но не является силовской в , поэтому содержится как подгруппа индекса 2 в некоторой группе . Теперь для инволюции из центра имеем , т. е. не максимальная в . Противоречие.

Следствие. Пусть группа , где группа содержит циклическую подгруппу индекса . Если - 2-разложимая группа четного порядка, то группа непроста.

Лемма 5 . Пусть группа содержит циклическую инвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 2. Если - 2-разложимая группа, то группа разрешима.

Доказательство. Применим индукцию к порядку . Если , то ввиду леммы 1 фактор-группа удовлетворяет условиям леммы. По индукции, разрешима, отсюда разрешима и .

Пусть . Если - циклическая, то разрешима по теореме В. А. Ведерникова. Поэтому , - циклическая подгруппа индекса 2, . Пусть , где - силовская 2-подгруппа из , - ее дополнение. Если , то разрешима. Теперь и можно считать силовской 2-подгруппой в . Так как и , то . Пусть и . Тогда и . По лемме С. А. Чунихина подгруппа максимальна в и . Представление группы подстановками смежных классов по подгруппе дважды транзитивное: если - простое число, если - составное. Из леммы 3 вытекает теперь, что .Противоречие.

Доказательство теоремы 1 . Применим индукцию к порядку группы G. Пусть и - циклические инвариантные подгруппы в и в соответственно, чьи индексы равны 1 или 2, а и - те силовские 2-подгруппы из и , для которых и есть силовская 2-подгруппа . Будем считать, что . Если , то и разрешима по теореме Ито-Хупперта. Поэтому в дальнейшем полагаем, что . Ввиду леммы 1 каждая фактор-группа удовлетворяет условиям теоремы, поэтому

Допустим, что . Если , то и . Так как разрешима, то . Если , то и разрешима.

Пусть теперь . Тогда и . Так как не является силовской подгруппой в , то содержится как подгруппа индекса 2 в некоторой 2-группе . Обозначим через силовскую 2-подгруппу из . Очевидно, что инвариантна в .

Предположим, что и пусть - инволюция из . В все подгруппы характеристические и инвариантна в , поэтому и . Пусть - максимальная в подгруппа, которая содержит . Тогда разрешима по индукции. Если , то содержится в и . Значит, . Так как - собственная в подгруппа, то , и . Теперь - дважды транзитивная группа степени на множестве смежных классов по : если - простое число, то применимо утверждение из, стр. 609; если составное. Из леммы 3 получаем, что . Противоречие.