Курсовая работа: Пространства Соболева

Доказательство. Пусть тогда для всех имеем (1.6):

Вследствие свойства непрерывности скалярного произведения в последнем равенстве можно перейти к пределу при В результате мы получим тождество (1.6) для любой функции Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть даны такие, что для всех справедливо тождество (1.7). Тогда (обобщённая производная).

Доказательство. Пусть а Тогда

при

для любого

Пусть – класс, представителем которого является

Тогда для любых Отсюда Лемма доказана.

1.4 Простейшая теорема вложения

Теорема 1. вложено в

Доказательство. Пусть непрерывно дифференцируема на отрезке Согласно теореме о среднем, вследствие непрерывности найдётся точка такая, что Поэтому на отрезке справедливо следующее тождество:

С помощью неравенства Коши-Буняковского имеем

где Следовательно, для любой непрерывно дифференцируемой на отрезке функции справедливо неравенство

(1.8)

Пусть теперь последовательность – фундаментальная по норме Тогда

при Следовательно, фундаментальна в смысле равномерной сходимости и, по критерию Коши равномерной сходимости, сходится к Тем более в среднем. Таким образом, в классе из содержащим в качестве представителя, содержится непрерывная функция и, значит, этот класс можно отождествить с Отождествим элементы с непрерывными функциями. Пусть Переходя в неравенстве к пределу при придём к неравенству (1.8).

Итак, вложение в доказано. Доказательство теоремы закончено.

1.5 Пространства Соболева и

Пусть – односвязная область с достаточно гладкой границей В замкнутой области рассмотрим линейное пространство всевозможных непрерывно дифференцируемых функций со скалярным произведением

При этом

(1.9)

Полученное пространство со скалярным произведением обозначается а его пополнение – это, по определению, пространство Соболева

Пусть – фундаментальная последовательность в то есть при Отсюда следует, что в будут фундаментальными последовательности

Вследствие полноты в имеются элементы, которые мы обозначим

так что при в среднем