Курсовая работа: Пространства Соболева
Доказательство. Пусть тогда для всех
имеем (1.6):
Вследствие свойства непрерывности скалярного произведения в последнем равенстве можно перейти к пределу при В результате мы получим тождество (1.6) для любой функции
Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть даны такие, что для всех
справедливо тождество (1.7). Тогда
(обобщённая производная).
Доказательство. Пусть а
Тогда
при
для любого
Пусть – класс, представителем которого является
Тогда для любых
Отсюда
Лемма доказана.
1.4 Простейшая теорема вложения
Теорема 1. вложено в
Доказательство. Пусть непрерывно дифференцируема на отрезке
Согласно теореме о среднем, вследствие непрерывности
найдётся точка
такая, что
Поэтому на отрезке
справедливо следующее тождество:
С помощью неравенства Коши-Буняковского имеем
где Следовательно, для любой непрерывно дифференцируемой на отрезке
функции
справедливо неравенство
(1.8)
Пусть теперь последовательность – фундаментальная по норме
Тогда
при Следовательно,
фундаментальна в смысле равномерной сходимости и, по критерию Коши равномерной сходимости, сходится к
Тем более
в среднем. Таким образом, в классе из
содержащим
в качестве представителя, содержится непрерывная функция
и, значит, этот класс можно отождествить с
Отождествим элементы
с непрерывными функциями. Пусть
Переходя в неравенстве
к пределу при
придём к неравенству (1.8).
Итак, вложение в
доказано. Доказательство теоремы закончено.
1.5 Пространства Соболева
и 
Пусть – односвязная область с достаточно гладкой границей
В замкнутой области
рассмотрим линейное пространство всевозможных непрерывно дифференцируемых функций
со скалярным произведением
При этом
(1.9)
Полученное пространство со скалярным произведением обозначается а его пополнение – это, по определению, пространство Соболева
Пусть – фундаментальная последовательность в
то есть
при
Отсюда следует, что в
будут фундаментальными последовательности
Вследствие полноты в
имеются элементы, которые мы обозначим
так что при в среднем