Курсовая работа: "Дискретні та неперервні динамічні системи в економіці" в MAPLE 7

Завдання №2

Динаміка національного доходу Y_t визначається рівнянням Самуельсона-Хікса [6]

(1.2.0)

де а=2; b =1,25; c=1. Знайти залежність Y_t , якщо Y₀ =0, Y₀ =1

Рішення:

1. Динаміка об'єктів різної природи часто описується лінійними кінцево-різницевими рівняннями виду

x_t = F (xt‑1 , x_{t -2} ,…, xt-n ), (1.2.1)

Характеристичний стан об'єкта x_t у будь-який момент часу t зі станами в попередні моменти часу. Рішення рівняння (1.2.1) n‑го порядку визначено однозначно, якщо задані n так званих початкових умов. Звичайно як початкові умови розглядаються значення x_t при t = 0, 1,…, n – 1.

Підставляючи початкові значення xn‑1 ,…, x ₁ , x ₀ і t = n як аргументи функції в правій частині (1.2.1), знаходимо x_n ; використовуючи знайдене значення й підставляючи тепер x_n , xn‑1 ,…, x ₂ x ₁ і t = n + 1 як аргументи функції, знаходимо x_{n +1} , і т. д. Процес може бути продовжений доти, поки не будуть вичерпані всі досліджуємі значення t .

У моделі економічних циклів Самуельсона-Хікса використовуються кінцево-різницеві рівняння виду x_t = a _{1 xt-} 1 + a _{2 xt-} 2 + f (t ) – лінійні кінцево-різницеві рівняння другого порядку, що є приватним видом рівняння (1.2.1).

2. Варіант початкових даних Y₀ =0.

Рішення рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE7 [4]:

> rsolve({f(n)=(2*f (n‑1) – (1*1/4)*f (n‑2)+2), f(0)=0}, f(n));

- Samuelson_Hiks3:=simplify(%);

Як показує аналіз рішення для вирішення рівняння моделі Самуельсона-Хікса потрібно 2 послідовні точки початкових умов національного доходу (n‑1, n), тобто 0 та 1 значення для кінечно-різницевої моделі. Тільки тоді з’являється можливість розрахування послідовних значень для точки (n+1). Якщо є тільки одна початкова точка (n‑1), то отриманне рівняння моделі залежить не тільки від значення n, але і від значення Y(1).

3. Варіант початкових даних Y₀ =1.

Рішення рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE7:

> rsolve({f(n)=(2*f (n‑1) – (1*1/4)*f (n‑2)+2), f(0)=1}, f(n));

> Samuelson_Hiks3:=simplify(%);

Як показує аналіз рішення для вирішення рівняння моделі Самуельсона-Хікса потрібно 2 послідовні точки початкових умов національного доходу (n‑1, n), тобто 0 та 1 значення для кінечно-різницевої моделі. Тільки тоді з’являється можливість розрахування послідовних значень для точки (n+1). Якщо є тільки одна початкова точка (n‑1), то отримане рівняння моделі залежить не тільки від значення n, але і від значення Y(1).

4. Варіант початкових даних Y₀ =0, Y₁ =1.

Рішення рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE7:

> rsolve({f(n)=(2*f (n‑1) – (1*1/4)*f (n‑2)+2), f(0)=0, f(1)=1}, f(n));

- Samuelson_Hiks3:=simplify(%);