Курсовая работа: Разработка и исследование способа обнаружения аномальных значений

б – для рэлеевского законов плотности распределения вероятности случайных процессов

Из анализа графиков, представленных на рис. 2а и б, видно, что выборочные значения коэффициента практически не зависят от среднеквадратического отклонения стационарного случайного процесса и незначительно зависит от объема исследуемой выборки .

Таким образом, проведенные исследования показывают, что выборочные значения коэффициента для рассмотренных законов распределения случайных процессов практически не зависят от объема исследуемой выборки и среднеквадратического отклонения стационарного случайного процесса , а зависят только от априорно задаваемого значения вероятности ошибки первого рода [10, 11, 12]. В связи с этим исследуются зависимости выборочных значений коэффициента от априорно фиксированного значения вероятности ошибки первого рода , т.е. , для различных законов плотности распределения вероятности стационарных случайных процессов (гауссовского, равномерного, рэлеевского) при значении . Результаты, которые представлены на рис. 3, получены при , и .

На рис. 3 приведены зависимости значения оценок коэффициента от вероятности ошибки первого рода : график 1 – рэлеевский; график 2 – равномерный и график 3 – гауссовский законы плотности распределения вероятности стационарного случайного процесса.

Рис. 3. Зависимость для различных законов распределения случайных процессов

Из анализа графиков, представленных на рис. 3, следует, что выборочные значения коэффициента для всех представленных законов распределения стационарного случайного процесса существенно зависят от априорно задаваемых значений вероятности ошибки первого рода .

На рис. 4 представлен усредненный график зависимости для исследуемых стационарных случайных процессов.

Рис. 4. Усредненная зависимость для рассмотренных стационарных случайных процессов

Графическая зависимость, представленная на рис. 4, может быть аппроксимирована полиномом второй степени вида [6, 7]:

. (13)

Полученные результаты исследования зависимости коэффициента позволяют при адаптации порогового значения (9) вместо постоянного значения коэффициента использовать его значение, которое вычисляется в соответствии с (13). Использование уравнения (13) в оценке порогового значения (9) позволяет использовать предложенный способ обнаружения аномальных значений при фиксированном значении вероятности ошибки первого рода .

Для исследования эффективности способа обнаружения аномальных значений с адаптацией порогового значения проводится сравнительный анализ предлагаемого способа и способа обнаружения аномальных значений без адаптации порогового значения.

Критерием эффективности предлагаемого в данной работе способа обнаружения аномальных значений в реализации нестационарного случайного процесса выступают выборочные значения вероятности правильного обнаружения и вероятности ошибки первого рода . Вероятность ошибки первого рода (вероятность ложной тревоги) определяет вероятность принятия значения процесса за аномальное значение. Вероятность правильного обнаружения определяет вероятность правильного решения о наличии аномального значения в исходной реализации нестационарного случайного процесса. Использование вышесказанного критерия для оценки эффективности предлагаемых в работе способа осуществляются по усредненным значениям, т.е. в качестве выборочных значений вероятности правильного обнаружения , и вероятности ошибки первого рода рассмотрены их средние значения, полученные по множеству реализаций (порядка 1 000).

В данной работе исследуются модели нестационарных процессов, которые представляют собой единственную реализацию дискретного процесса , полученного в равноотстоящие моменты времени , где и , т.е. модели вида [3]:

, (14)

, (15)

где ,, , – полезная, аддитивная, мультипликативная шумовая и аномальная составляющие входного процесса соответственно, где , – объем выборки исследуемого процесса.

Исследование для нестационарных случайных процессов проводятся, когда полезная составляющая процесса представлена простыми моделями функций: гармонической, экспоненциальй, полиномиальными, а также составной и сложной моделями. Составная модель функции исследуемого процесса состоит из параболы, синусоиды, константы и экспоненты – модель огибающая радиоимпульса на выходе резонансного усилителя при расстройке относительно резонансной частоты. Модель сложной функции представляет собой сумму некоторой константы и синусоиды.

Шумовая составляющая процесса представлена гауссовским, равномерным и рэлееевским законами плотности распределения вероятности. В качестве аномальной составляющей процесса рассматривались одиночные аномального значения с различной величиной и местом расположения в выборке исследуемого нестационарного случайного процесса.

На основе имитационного моделирования в работах [3, 4] при анализе нестационарных случайных процессов получены зависимости выборочных значений вероятности ошибки первого рода и вероятности правильного обнаружения для способа обнаружения аномальных значений без адаптации, т.е. когда значение коэффициента в пороговом значении (9) задается фиксированным , и с адаптацией порогового значения (9), т.е. когда значение коэффициента определяется выражением (13) [4].

Исследования эффективности предлагаемого способа проводятся для случая, когда модель нестационарного случайного процесса является аддитивной (14). Аддитивная шумовая составляющая процесса имеет гауссовский закон плотности распределения вероятности. Одиночные аномальные значения распределены равномерно по всей реализации нестационарного случайного процесса и составляют 5 % от выборки N . Исследования проводятся для различных значений величины аномальных значений , т.е.: ,,,,, – среднеквадратическое отклонение аддитивной шумовой составляющей. Значения вероятности ошибки первого рода для способа с адаптацией порогового значения априорно фиксируется .

В результате проведенных исследований для нестационарных случайных процессов получены зависимости выборочных значений вероятности правильного обнаружения . Для случая, когда не используется адаптация порогового значения, – графики , , , , и с применением адаптация порогового значения – графики 1, 2, 3, 4, 5 (рис. 5).

Рис. 5. Зависимость выборочных значений вероятности правильного обнаружения для способа без адаптации и способа с адаптацией порогового значения при

Зависимости на рис. 5 представлены для различных моделей функций полезной составляющей : графики 1, – экспоненциальной; графики 2, – параболической; графики 3, – гармонической; графики 4, – составной и графики 5, – сложной функции.

Анализ результатов, представленных на рис. 5, показывает, что при введении адаптации порогового значения выборочные значения вероятности правильного обнаружения возрастают для всех рассмотренных функций полезной составляющей . Причем для параболической, гармонической и экспоненциальной модели функций, при величине аномальных значений порядка , выборочные значения вероятности правильного обнаружения возрастают примерно на 66 %. С увеличением величины аномальных значений () выборочные значения вероятности правильного обнаружения увеличиваются примерно на 54 %. Из анализа зависимостей также следует, что при использовании адаптации порогового значения, с увеличением величины аномальных значений , вероятность правильного обнаружения асимптотически стремится к единице независимо от модели функции полезной составляющей [4, 5].

Применяя адаптацию порогового значения, также получены зависимости выборочных значений вероятности ошибки первого рода , которые представлены на рис. 6.