Курсовая работа: Решение дифференциального уравнения первого порядка

, (9)

где . Отсюда, полагая j=i-2 и q=1/2 и учитывая, что , находим

. (10)

Аналогично при j=i-1, q=1/2 из формулы (9) получаем, что аргументу соответствует значение

. (11)

Что касается значений и , то они имеются в старой таблице. После этого составляем начальный отрезок для новой таблицы. и находим конечные разности:

(k=-3,-2,-1),

(k=-3,-2),

(k=-3,).

Дальше таблица продолжается обычным путём, посредством соответствующей модификации формулы (5):

,

(j=0,1,2,…).

Для работы на электронных счётчиках машинах формулу Адамса (5) выгодно применять в раскрытом виде. Учитывая, что

после приведения подобных членов имеем

,

причём .

2. Методы, основанные на применении производных высших порядков

До сих пор для численного интегрирования дифференциального уравнения первого порядка

(1)

с начальным условием

(2)

мы применяли формулы, в которых явно используется лишь первая производная искомого решения.

Однако если использовать формулы, явно содержащие производные высших порядков от искомого решения, то можно указать методы, дающие более точный результат на данном промежутке без увеличения числа шагов.

Выведем соответствующие формулы, предполагая, что правая часть уравнения (1) дифференцируема достаточное число раз.

Пусть - значения искомого решения y=y(x) и, соответственно, значения его производных первого и второго порядков в точках . Располагая величины