Курсовая работа: Решение дифференциального уравнения первого порядка
1. Метод Адамса
Этот метод численного интегрирования разработан Адамсом в 1855г. В последствии этот метод был забыт и вновь открыт в начале века. Популяризация метода Адамса и дальнейшее его усовершенствование связаны с именем А.Н. Крылова.
Изложим метод Адамса применительно к уравнению первого порядка
(1)
с начальным условием
(2).
Пусть x(i=0,1,2,….) – система равностоящих значений с шагом h и
=
. Очевидно, имеем
(3).
В силу второй интерполяционной формулы Ньютона с точностью до разностей четвертого порядка получаем
(4)
где .
Подставляя выражение (4) в формулу (3) и учитывая, что dx=hdq, будем иметь
Отсюда получаем экстраполяционную формулу Адамса
. (5)
Для начала процесса нужны четыре начальных значения , так называемый начальный отрезок, который определяют исходя из начального условия (2), каким-нибудь численным методом. Можно, например, использовать метод Рунге-Кутта. Зная эти значения, из уравнения (1) можно найти значения производных
и составить таблицу разностей.
(6)
Дальнейшие значения (i=4,5,…) искомого решения можно шаг за шагом вычислять по формуле Адамса, пополняя по мере необходимости таблицу разностей (6).
Для контроля рекомендуется вычислив первое приближение для по формуле
определить , подсчитать конечные разности.
,
,
(7)
и затем найти второе приближение по более точной формуле
(8)
Если и
отличаются лишь на несколько единиц последнего сохраняемого десятичного разряда, то можно положить
, а затем, найдя
, перевычислив конечные разности (7). После этого, строго говоря, следует снова найти
по формуле(8). Поэтому шаг h должен быть таким , чтобы этот пересчёт был излишним.
На практике шаг h выбирают столь малым, чтобы можно было пренебречь членом в формуле (8).
Если же расхождение величин и
значительно, то следует уменьшить шаг h.
Обычно шаг h уменьшают в два раза. Покажем, как в этом случае, имея до некоторого значения i таблицу величин и
,
(j
i) c шагом
, можно просто построить таблицу величин
(k=0,1,2…) с шагом
. Для кратности введения сокращенные обозначения:
(k=0,1,2…).
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--