Курсовая работа: Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов

мы придем к окончательной форме тригонометрического разложения:

,

в которой мы всегда и будем его рассматривать. Здесь функция от угла x, имеющая период , оказывается разложенной по косинусам и синусам углов, кратных x.

Мы пришли к разложению функции в тригонометрический ряд, отправляясь от периодических, колебательных явлений и связанных с ними величин. Важно отметить, однако, уже сейчас, что подобные разложения часто оказываются полезными и при исследовании функции, заданных лишь в определенном конечном промежутке и вовсе не порожденных никакими колебательными явлениями.

3.1.1. Схема Рунге.

Разложение функции в ряд Фурье, или гармонический анализ, оказывается нужным во многих чисто практических вопросах машиноведения, электротехники и пр. Но в этих случаях очень редко приходится непосредственно пользоваться формулами Эйлера-Фурье:

, , , (10)

для вычисления коэффициентов разложения. Дело в том, что функции, которые нужно подвергнуть гармоническому анализу, обыкновенно задаются таблицей своих значений или графиком. Таким образом, аналитического выражения функции в нашем распоряжении нет; иногда к самому гармоническому анализу прибегают именно для того, чтобы таким путем получить хотя бы приближенное аналитическое выражение для функции. В этих условиях для вычисления коэффициентов Фурье нужно обратится к приближенным методам. Разумеется, на практике приходится пользоваться лишь немногими первыми членами тригонометрического разложения. Коэффициенты ряда Фурье в большинстве случаев убывают, а с ними быстро падает и влияние далеких гармоник.

Обычно дается (или снимается с графика) ряд равноотстоящих ординат, т.е. ряд значений функции , отвечающих равноотстоящим значениям аргумента . По этим ординатам величины (10) можно приближенно вычислить, пользуясь методами изложенными выше. Но вычисления здесь оказываются довольно громоздкими, и для того чтобы упростить и, так сказать, автоматизировать их, придумано много различных приемов, один из которых мы и изложим.

3.1.1.1. Схема для двенадцати ординат.

Пусть, скажем, промежуток от 0 до разделен на k равных частей и пусть известны ординаты

,

отвечающие точкам деления

.

тогда по формуле трапеции имеем (конечно, лишь приближенно!):

.

Ввиду периодичности нашей функции , значение можно написать и так:

.

Аналогично, применяя формулу трапеции к другим интегралам (10), найдем:

или

,

а также

.

Положим сначала k=12 и будем исходить из двенадцати ординат

,

отвечающих двенадцати ординатам равноотстоящих значениям аргумента:

,