Курсовая работа: Рішення систем диференціальних рівнянь за допомогою неявної схеми Адамса 3-го порядку

Для одержання кінцево-різницевої схеми зручно використовувати метод, відповідно до якого необхідно інтегрувати рівняння (2.3) на кожному інтервалі [xk, xk+1] і розділити отримане вираження на довжину цього інтервалу:

(2.5)

Далі апроксимуємо інтеграл у правій частині однієї із квадратурних формул і одержуємо систему рівнянь щодо наближених невідомих значень шуканих функцій, які на відміну від точних позначимо . При цьому виникає погрішність?, обумовлена неточністю апроксимації:

ε(h)=|| || (2.6)

Відповідно до основної теореми теорії методу сіток (теорема Лакса), для стійкої кінцево-різницевої схеми при прагненні кроку h до нуля погрішність рішення прагне до нуля з тим же порядком, що й погрішність апроксимації:

, (2.7)

де З0 – константа стійкості, p – порядок апроксимації.

Тому для збільшення точності рішення необхідно зменшити крок сітки h.

На практиці застосовується множина видів кінцево-різницевих схем, які підрозділяються на одно крокові, багатокрокові схеми й схеми із дробовим кроком.

Одно крокові схеми – Метод Ейлера

Заміняємо інтеграл у правій частині рівняння (2.5) по формулі лівих прямокутників:

(2.8)

Одержимо:

, (2.9)

де k=0,1,2,…, n.

Схема явна стійка. У силу того, що формула для лівих прямокутників має погрішність другого порядку, точність ε(h) першого порядку.

– Неявна схема 1-го порядку

Використовуючи формулу правих прямокутників, одержимо:

(2.10)

Ця схема нерозв'язна в явному виді відносно , тому проводиться ітераційна процедура:

, (2.11)

де s=1,2,… – номер ітерації. Звичайно схема сходиться дуже швидко – 2–3 ітерації. Неявна схема першого порядку ефективніше явної, тому що константа стійкості З0 у неї значно менше.

– Метод Ейлера-Коші

Обчислення проводяться у два етапи: етап прогнозу й етап корекції.

На етапі прогнозу визначається наближене рішення на правому кінці інтервалу по методу Ейлера:

(2.12)

На етапі корекції, використовуючи формулу трапецій, уточнюємо значення рішення на правому кінці:

(2.13)

Тому що формула трапецій має третій порядок точності, то порядок погрішності апроксимації – дорівнює двом.