Курсовая работа: Рішення систем диференціальних рівнянь за допомогою неявної схеми Адамса 3-го порядку
4,000 8,0000 8,0000 0,0000 54,5981 54,5982 0,0000
Час виконання: 0,015з
Як видно з отриманого результату, точність в 0.0001 досягається вже при кількості кроків, рівному 320. Час. Витрачене на розрахунок таблиці значень на заданому інтервалі становить усього 0.015 секунд, що практично не відчутно. Збільшення кроку сітки приведе до підвищення точності рішення, однак це збільшить і час роботи обчислювального процесу.
Задана точність досягається за мінімальну кількість ітерацій (1–3 ітерації).
Нижче наведений графік функцій отриманого й точного рішень:
Рис. 5.1 Графік отриманого й точного рішення
Рис. 5.2 Графік отриманого й точного рішення
Як видно з малюнків 5.1, 5.2, розбіжність кривих спостерігається тільки при досить великому збільшенні графіка.
Запропонована задача Коші була також вирішена в математичному пакеті «Mathcad 11» двома методами: методом Рунге-Кутта 5-го порядку й методом Рунге-Кутта з непостійним кроком. Реалізація рішення системи диференціальних рівнянь в «Mathcad 11» і таблиці результатів наведені нижче:
Реалізація рішення задачі Коші методом Рунге-Кутта 5-го порядку:
Таблиця 5.1 – Результати рішення задачі Коші методом Рунге-Кутта 5-го порядку.
| x | u(x) | v(x) | x | u(x) | v(x) |
| 2 | 4 | 7,3890561 | 3,1 | 6,2 | 22,19795 |
| 2,02 | 4,04 | 7,5383249 | 3,12 | 6,24 | 22,64638 |
| 2,04 | 4,08 | 7,6906092 | 3,14 | 6,28 | 23,10387 |
| 2,06 | 4,12 | 7,8459698 | 3,16 | 6,32 | 23,5706 |
| 2,08 | 4,16 | 8,0044689 | 3,18 | 6,36 | 24,04675 |
| 2,1 | 4,2 | 8,1661699 | 3,2 | 6,4 | 24,53253 |
| 2,12 | 4,24 | 8,3311375 | 3,22 | 6,44 | 25,02812 |
| 2,14 | 4,28 | 8,4994376 | 3,24 | 6,48 | 25,53372 |
| 2,16 | 4,32 | 8,6711376 | 3,26 | 6,52 | 26,04954 |
| 2,18 | 4,36 | 8,8463062 | 3,28 | 6,56 | 26,57577 |
| 2,2 | 4,4 | 9,0250135 | 3,3 | 6,6 | 27,11264 |
| 2,22 | 4,44 | 9,2073308 | 3,32 | 6,64 | 27,66035 |
| 2,24 | 4,48 | 9,3933313 | 3,34 | 6,68 | 28,21913 |
| 2,26 | 4,52 | 9,5830891 | 3,36 | 6,72 | 28,78919 |
| 2,28 | 4,56 | 9,7766804 | 3,38 | 6,76 | 29,37077 |
| 2,3 | 4,6 | 9,9741824 | 3,4 | 6,8 | 29,9641 |
| 2,32 | 4,64 | 10,175674 | 3,42 | 6,84 | 30,56941 |
| 2,34 | 4,68 | 10,381237 | 3,44 | 6,879999 | 31,18696 |
| 2,36 | 4,72 | 10,590951 | 3,46 | 6,919999 | 31,81698 |
| 2,38 | 4,76 | 10,804903 | 3,48 | 6,959999 | 32,45972 |
| 2,4 | 4,8 | 11,023176 | 3,5 | 6,999999 | 33,11545 |
| 2,42 | 4,84 | 11,245859 | 3,52 | 7,039999 | 33,78443 |
| 2,44 | 4,88 | 11,473041 | 3,54 | 7,079999 | 34,46692 |
| 2,46 | 4,92 | 11,704811 | 3,56 | 7,119999 | 35,1632 |
| 2,48 | 4,96 | 11,941264 | 3,58 | 7,159999 | 35,87354 |
| 2,5 | 4,9999999 | 12,182494 | 3,6 | 7,199999 | 36,59823 |
| 2,52 | 5,0399999 | 12,428597 | 3,62 | 7,239999 | 37,33757 |
| 2,54 | 5,0799999 | 12,679671 | 3,64 | 7,279999 | 38,09184 |
| 2,56 | 5,1199999 | 12,935817 | 3,66 | 7,319999 | 38,86134 |
| 2,58 | 5,1599999 | 13,197138 | 3,68 | 7,359999 | 39,64639 |
| 2,6 | 5,1999999 | 13,463738 | 3,7 | 7,399999 | 40,4473 |
| 2,62 | 5,2399999 | 13,735723 | 3,72 | 7,439999 | 41,26439 |
| 2,64 | 5,2799999 | 14,013204 | 3,74 | 7,479999 | 42,09799 |
| 2,66 | 5,3199999 | 14,296289 | 3,76 | 7,519999 | 42,94842 |
| 2,68 | 5,3599999 | 14,585093 | 3,78 | 7,559999 | 43,81604 |
| 2,7 | 5,3999999 | 14,879732 | 3,8 | 7,599999 | 44,70118 |
| 2,72 | 5,4399999 | 15,180322 | 3,82 | 7,639999 | 45,60421 |
| 2,74 | 5,4799999 | 15,486985 | 3,84 | 7,679999 | 46,52547 |
| 2,76 | 5,5199999 | 15,799843 | 3,86 | 7,719999 | 47,46535 |
| 2,78 | 5,5599999 | 16,119021 | 3,88 | 7,759999 | 48,42421 |
| 2,8 | 5,5999999 | 16,444647 | 3,9 | 7,799999 | 49,40245 |
| 2,82 | 5,6399999 | 16,776851 | 3,92 | 7,839999 | 50,40044 |
| 2,84 | 5,6799999 | 17,115765 | 3,94 | 7,879999 | 51,4186 |
| 2,86 | 5,7199999 | 17,461527 | 3,96 | 7,919999 | 52,45732 |
| 2,88 | 5,7599999 | 17,814273 | 3,98 | 7,959998 | 53,51703 |
| 2,9 | 5,7999998 | 18,174145 | 4 | 7,999998 | 54,59815 |
| 2,92 | 5,8399998 | 18,541287 | |||
| 2,94 | 5,8799998 | 18,915846 | |||
| 2,96 | 5,9199998 | 19,297972 | |||
| 2,98 | 5,9599998 | 19,687816 | |||
| 3 | 5,9999998 | 20,085537 | |||
| 3,02 | 6,0399998 | 20,491291 | |||
| 3,04 | 6,0799998 | 20,905243 | |||
| 3,06 | 6,1199998 | 21,327557 | |||
| 3,08 | 6,1599998 | 21,758402 |
Реалізація рішення задачі Коші методом Рунге-Кутта з непостійним кроком:
Таблиця 5.2 – Результати рішення задачі Коші методом Рунге-Кутта з непостійним кроком.
| X | u(x) | v(x) |
| 2 | 4 | 7,389056099 |
| 2,2 | 4,4 | 9,025013486 |
| 2,4 | 4,8 | 11,02317634 |
| 2,6 | 5,2 | 13,46373796 |
| 2,8 | 5,6 | 16,44464663 |
| 3 | 6 | 20,08553669 |
| 3,2 | 6,4 | 24,53252981 |
| 3,4 | 6,8 | 29,96409944 |
| 3,6 | 7,2 | 36,59823348 |
| 3,8 | 7,6 | 44,701183 |
| 4 | 8 | 54,59814775 |
Як видно з отриманих таблиць результатів, точність рішення в 0.0001 при рішенні методом Рунге-Кутта з непостійним кроком досягається всього за 10 кроків, у той час, коли для досягнення цієї ж точності при рішенні методом Рунге-Кутта 5-го порядку з постійним кроком потрібно близько 100 кроків.
Порівнюючи отримані результати з результатами роботи програми «Adams3.exe», доходимо висновку, що неявна схема Адамса третього порядку досить ефективна при чисельному рішенні задачі Коші (швидкість, висока точність рішення), однак по своїх характеристиках вона уступає більше зробленим методам, що застосовуються в різних математичних пакетах.
Висновок
Результатом виконання курсового проекту є готовий програмний продукт, що дозволяє вирішувати задачу Коші для системи диференціальних рівнянь за допомогою неявної схеми Адамса 3-го порядки, що демонструє можливості чисельного рішення поставленої задачі із заданим ступенем точності.
Готовий програмний продукт може знайти широке застосування при рішенні багатьох прикладних технічних програм, а зокрема, ефективне використання застосованої схеми Адамса 3-го порядки для рішення так званих «твердих» систем диференціальних рівнянь, для яких існує лише чисельне рішення.
Дана програма вирішує задану користувачем систему диференціальних рівнянь із зазначеною точністю за мінімальний проміжок часу. При цьому користувачеві надається можливість візуально оцінити неточність рішення, порівнюючи графіків отриманого й точного рішень.
До достоїнств програми можна віднести також зручний користувальницький інтерфейс, можливість уведення користувальницьких систем диференціальних рівнянь, а також висока стабільність роботи. Однак є й деякі недоліки. До недоліків програми можна віднести: відсутність обробки виняткових подій. Це, природно, обмежує можливості програми.
Література
1. Архангельський О.Я. Програмування в С++ Builder 6. – К., 2004
2. Каліткин М.М. Чисельні методи. – К., 2003
3. Самарський А.А., Гулін А.В. Чисельні методи. – К., 2003
4. Синіцин О.К., Навроцкий А.А. Алгоритми обчислювальної математики. – К., 2003