Курсовая работа: Рішення систем диференціальних рівнянь за допомогою неявної схеми Адамса 3-го порядку

Використовуючи в (2.5) формулу трапецій, одержимо:

(2.14)

Схема не дозволена в явному виді, тому потрібна ітераційна процедура:

, (2.15)

де s=1,2,… – номер ітерації. Звичайно схема сходиться за 3–4 ітерації.

Тому що формула трапецій має третій порядок точності, то погрішність апроксимації – другий.

Схеми із дробовим кроком

– Схема предиктор-коректор (Рунге-Кутта) 2-го порядки

Використовуючи в (2.5) формулу середніх, одержимо:

, (2.16)

де – рішення системи на середині інтервалу [xk, xk+1]. Рівняння явно дозволене відносно , однак у правій частині присутня невідоме значення . Тому спочатку рахують (предиктор):

. (2.17)

Потім (коректор) по формулі (2.16). Схема має перший порядок погрішності.

– Схема Рунге-Кутта 4-го порядку

Використовуючи в (2.5) формулу Симпсона, одержимо:

(2.18)

Найбільше часто розраховують неявне по рівняння за наступною схемою:

Спочатку розраховують предиктор виду:

(2.19)

потім коректор по формулі:

(2.20)

Оскільки формула Симпсона має п'ятий порядок погрішності, то точність? (h) – четвертого порядку.

Багатокрокові схеми

Багатокрокові методи рішення задачі Коші характеризуються тим, що рішення в поточному вузлі залежить від даних не в одному попередньому або наступному вузлі сітки, як це має місце в одно крокових методах, а залежить від даних у декількох сусідніх вузлах.

Ідея методів Адамса полягає в тім, щоб для підвищення точності використовувати обчислені вже на попередніх кроках значення

Якщо замінимо в (2.5) вираження інтерполяційним багаточленом Ньютона, побудованого по вузлах , то після інтегрування на інтервалі одержимо явну схему Адамса. Якщо замінимо в (2.5) вираження на багаточлен Ньютона, побудованого по вузлах , то одержимо неявну інтерполяційну схему Адамса.

– Явна екстраполяційна схема Адамса 2-го порядки

(2.21)

Схема двох крокова, тому необхідно для розрахунків знайти за схемою Рунге-Кутта 2-го порядку , після чого , , … обчислюють по формулі (2.21)